Problem von Bernstein

In der Mathematik bezeichnet man als Problem von Bernstein die Fragestellung, ob der Graph einer Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R}$ nur dann eine Minimalfläche im $\mathbb {R} ^{n}$ ist, wenn die Funktion affin ist. Die Antwort ist positiv für $n\leq 8$ , aber negativ für $n\geq 9$ .

Mathematische Formulierung

Für eine Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R}$ ist ihr Graph eine Hyperfläche im $\mathbb {R} ^{n}$ und er ist genau dann eine Minimalfläche, wenn $f$ eine Lösung der Differentialgleichung

\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=0

ist. Offensichtlich sind alle affinen Funktionen $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b$ Lösungen dieser Differentialgleichung, weil in diesem Fall ${\frac {1}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ eine Konstante ist. Das Problem von Bernstein fragt, ob es darüber hinaus noch weitere Lösungen dieser Differentialgleichung gibt.

Historie

Für $n=3$ wurde das Problem 1914 von Sergei Natanowitsch Bernstein gelöst.^[1]
Für $n=4$ wurde das Problem 1965 von Ennio De Giorgi gelöst.^[2]
Für $n=5$ wurde das Problem 1966 von Frederick Almgren gelöst.^[3]
Für $n\leq 8$ wurde das Problem 1968 von James Simons gelöst.^[4]
Für $n\geq 9$ bewiesen Enrico Bombieri, Ennio De Giorgi und Enrico Giusti aufbauend auf der Arbeit von James Simons, dass der Satz von Bernstein nicht zutrifft.^[5]

Einzelnachweise

↑ S. N. Bernstein, Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov, Band 15, 1915–1917, S. 38–45
↑ E. De Giorgi, Una estensione del teorema di Bernstein. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 19, 79–85, 1965.
↑ F. Almgren, Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of the Bernstein's theorem, Ann. of Math., Band 85, 1966, S. 277–292
↑ J. Simons, Minimal varieties in Riemannian Manifolds, Annals of Mathematics, Band 88, 1968, S. 62–105.
↑ E. Bombieri, E. De Giorgi, E. Giusti, Minimal cones and the Bernstein problem, Inventiones Mathematicae 7 (1969) 243–268

Read other articles:

Bursa Efek Shanghai

Bursa Efek Shanghai上海证券交易所JenisBursa efekLokasiShanghai, Republik Rakyat TiongkokDidirikan1990Tokoh pentingGeng Liang (Ketua)Zhang Yujun (Presiden)Mata uangRMBEmiten tercatat932 (Mei 2012)Kapitalisasi pasarAS$2.300.000.000.000 (Desember 2011)[1]VolumeAS$500.000.000.000 (Desember 2009)IndeksIndeks Komposit SSE SSE 50Situs webwww.sse.com.cn Bursa Efek Shanghai (Inggris: Shanghai Stock Exchangecode: en is deprecated ; SSE) (Hanzi sederhana: 上海证券交易�...

Joseph Goebbels

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Joseph Goebbels – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR Joseph Goebbels Kanselir JermanMasa jabatan30 April 1945 – 1 Mei 1945PresidenKarl Dönitz PendahuluAdolf HitlerPenggantiLutz...

Alice Amafo

Alice Amafo Adalah Seorang Politikus Dari Negara Suriname Dan Juga Memiliki Jabatan Sebagai Menteri Di Negara Suriname Alice Hortencia Amafo (Paramaribo, 4 Februari 1977) adalah seorang politikus Suriname yang juga pernah menjabat sebagai menteri. Ketika ia diangkat sebagai menteri, usianya baru 28 tahun, sehingga ia menjadi menteri termuda dalam kabinet Suriname. Pada 1996 ia memperoleh ijazah persiapan studi ilmiah (VWO) dan setelah itu ia melanjutkan studinya dalam bidang administrasi niag...

Blanchiment des troupes coloniales

Cet article est une ébauche concernant la Seconde Guerre mondiale. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Le blanchiment des troupes coloniales consiste dans le retrait des tirailleurs sénégalais des premières lignes et leur rapatriement en Afrique après qu'elles ont participé à la campagne d'Afrique et à la Libération de la France durant la Seconde Guerre mondiale. On parle aussi au moment des...

Jayawarman VII

Jayawarman VIIRaja KhmerPatung Kepala Raja Jayawarman VII, Museum GuimetBerkuasa1181-1218Penobatan1182PendahuluTribhuwanadityawarman (sebelum invasi Cham)PenerusIndrawarman IIKelahiran1122/1125Angkor, Kerajaan KhmerKematian1218Yasodharapura, Kerajaan KhmerNama lengkapJayawarthonAyahDharanindrawarman IIIbuSri JayarajacudamaniPermaisuriJayarajadewi, IndradewiAnakSikhara Mahadewi (Permaisuri Pho Khun Pha Mueang)AgamaBuddha Mahayana Jayawarman VII (Bahasa Khmer: ជ័យវរ្ម័នទ...

WKBN-TV

CBS affiliate in Youngstown, Ohio WKBN-TVYoungstown, OhioUnited StatesChannelsDigital: 31 (UHF)(shared with WYTV)Virtual: 27BrandingWKBN 27; WKBN 27 First NewsProgrammingAffiliations27.1: CBS27.2: FoxOwnershipOwnerNexstar Media Group(Nexstar Media Inc.)Sister stationsWYFX-LD, WYTVHistoryFirst air dateJanuary 11, 1953 (71 years ago) (1953-01-11)Former channel number(s)Analog:27 (UHF, 1953–2009)Digital:41 (UHF, 2004–2018)36 (UHF, 2018–2019)Former affiliationsBoth secondary:...

Mal Cinere

Mal CinereCinere MallKoordinat6°19′26″S 106°47′03″E / 6.323965°S 106.784241°E / -6.323965; 106.784241AlamatJalan Cinere Raya Nomor 38, Cinere, Cinere, Depok, Jawa Barat 16514Tanggal dibuka3 Juli 1993; 30 tahun lalu (1993-07-03)PengembangMegapolitan DevelopmentsPemilikMegapolitan GroupJumlah lantai4Situs webSitus web resmi Mal Cinere (Inggris: Cinere Mall, akronim: CM) adalah pusat perbelanjaan di Depok, Jawa Barat yang dibangun 1991 dan selesai pad...

Keluarga

Untuk keluarga dalam konteks biologi, lihat Famili (biologi). Potret keluarga Hubungan akrab Jenis hubungan Duda · Istri · Janda · Keluarga · Kumpul kebo · Monogami · Nikah siri · Pacar lelaki · Pacar perempuan · Perkawinan · Poligami · Saudara · Sahabat · Selir · Suami · Wanita simpanan Peristiwa dalam hubungan Cinta · Ciuman · Kasih sayang · Pacaran · Persahabatan · Pernik...

Moto2 musim 2021

Grand Prix Sepeda Motor F.I.M. musim 2021 Sebelum: 2020 Sesudah: 2022 MotoGP musim 2021Moto3 musim 2021MotoE musim 2021Juara DuniaPembalap: Remy Gardner (Kalex)Pabrikan: KalexTim: Red Bull KTM AjoRookie: Raúl Fernández (Kalex) Remy Gardner adalah Juara Moto2 2021. Kejuaraan Dunia FIM Moto2 2021 adalah bagian dari musim Kejuaraan Dunia F.I.M. Road Racing ke-73. Remy Gardner memenangkan kejuaraan dunia pada balapan terakhir di Valencia. Musim ini juga menyaksikan pensiunnya veteran kelas men...

Сибирский горный козёл

Сибирский горный козёл Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:СинапсидыКла�...

Optic radiation

Neural pathway in the visual system This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (May 2015) (Learn how and when to remove this message) Optic radiationColour-coded diagram showing radiations in quadrants from retinal disc through the brainTractography showing optic radiationDetailsSystemVisual systemFunctionVisionIdentifie...

1958 United States Senate election in Nevada

1958 United States Senate election in Nevada ← 1952 November 4, 1958 1964 → Nominee Howard Cannon George W. Malone Party Democratic Republican Popular vote 48,732 35,760 Percentage 57.65% 42.32% County resultsCannon: 50–60% 70–80%Malone: 50–60% 60–70% U.S. senator before election George W. Malone Republican Elected U.S. Senator Howa...

1946 United States House of Representatives elections in South Carolina

1946 United States House of Representatives elections in South Carolina ← 1944 November 5, 1946 (1946-11-05)[1] 1948 → All 6 South Carolina seats to the United States House of Representatives Majority party Party Democratic Last election 6 Seats won 6 Seat change Popular vote 26,066 Percentage 98.89% District results Democratic 90–100% Elections in South Carolina Federal government U.S. Presiden...

Niklas Rådström

Cet article est une ébauche concernant un écrivain suédois. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Niklas RådströmBiographieNaissance 12 avril 1953 (71 ans)StockholmNationalité suédoiseActivités Scénariste, écrivain, romancier, poète, réalisateurPère Pär Rådström (en)Mère Anne Marie Rådström (d)Autres informationsDistinctions Liste détailléePrix littéraire Aftonbladet (1979)Pr...

Design for Living

1932 comedy play written by Noël Coward This article is about the play. For the film, see Design for Living (film). For the 1999 James Reyne album, see Design for Living (album). Lunt, Coward and Fontanne in Design for Living Design for Living is a comedy play written by Noël Coward in 1932. It concerns a trio of artistic characters, Gilda, Otto and Leo, and their complicated three-way relationship. Originally written to star Lynn Fontanne, Alfred Lunt and Coward, it was premiered on Broadw...

فعل

جزء من سلسلة مقالات حولالنحو والتصريف في العربية الإعراب أقسام الكلام اسم فعل حرف أقسام الجُمَل اسمية فعلية شبه جملة أنواع الكلام من حيث البناء والإعراب مُعرب لفظي تقديري محلي مبني حالات الإعراب رفع نصب جر جزم علامات الإعراب حركات حروف إعراب الجُمل جُمل معربة جُمَل لا محل...

Apinae

Come leggere il tassoboxApinaeApis melliferaClassificazione scientificaDominioEukaryota RegnoAnimalia SottoregnoEumetazoa SuperphylumProtostomia PhylumArthropoda SubphylumTracheata SuperclasseHexapoda ClasseInsecta SottoclassePterygota CoorteEndopterygota SuperordineOligoneoptera SezioneHymenopteroidea OrdineHymenoptera SottordineApocrita SezioneAculeata SuperfamigliaApoidea FamigliaApidae SottofamigliaApinae Latreille, 1802 Tribù Ancylini Anthophorini Apini Bombini Centridini Ctenoplectrini...

الغواصة الألمانية يو-502

يو-502 الجنسية ألمانيا النازية الشركة الصانعة دويتشه ويرفت المالك كريغسمارينه المشغل كريغسمارينه[1] المشغلون الحاليون وسيط property غير متوفر. المشغلون السابقون وسيط property غير متوفر. التكلفة وسيط property غير متوفر. منظومة التعاريف الاَلية للسفينة وسيط property غير مت...

Красный Крест Республики Сербской

Красный Крест Республики Сербской (серб. Црвени крст Републике Српске, босн. и хорв. Crveni krst Republike Srpske, англ. Red Cross of Republika Srpska) — гуманитарная организация Республики Сербской, осуществляющая свою деятельность в рамках Международного движения Красного Креста и Крас�...

بلدة بريلي (ميشيغان)

بلدة بريلي الإحداثيات 45°01′46″N 84°10′51″W / 45.029444444444°N 84.180833333333°W / 45.029444444444; -84.180833333333 [1] تقسيم إداري البلد الولايات المتحدة[2] التقسيم الأعلى مقاطعة مونتمورنسي خصائص جغرافية المساحة 70.3 ميل مربع عدد السكان عدد السكان 1697 (1 أبريل 2020)[...

/profillengkap.com/index.php/article/American Music Awards of 2006

Baroh Cot, Bandar Baru, Pidie Jaya

Laksagreha

prokariota

Windows Fundamentals for Legacy PCs

Pasi Lhok, Kembang Tanjong, Pidie

Djisman Simandjuntak

Acmaeodera pseudopolita