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In der Mathematik bezeichnet man Primzahlen, deren Differenz 4 beträgt als Primzahlencousins.^[1] Zum Beispiel sind die Zahlen 13 und 17 Primzahlencousins, weil die eine Zahl um 4 kleiner ist als die andere (bzw. die andere um 4 größer ist als die eine).

Primzahlencousins haben die Form $(p,p+4)$ . Es folgt eine Liste der Primzahlencousins bis $4.000$ (erzeugt mit Matheass 9.0):

p	(p+4)
3	7
7	11
13	17
19	23
37	41
43	47
67	71
79	83
97	101
103	107

p	(p+4)
109	113
127	131
163	167
193	197
223	227
229	233
277	281
307	311
313	317
349	353

p	(p+4)
379	383
397	401
439	443
457	461
463	467
487	491
499	503
613	617
643	647
673	677

p	(p+4)
739	743
757	761
769	773
823	827
853	857
859	863
877	881
883	887
907	911
937	941

p	(p+4)
967	971
1009	1013
1087	1091
1093	1097
1213	1217
1279	1283
1297	1301
1303	1307
1423	1427
1429	1433

p	(p+4)
1447	1451
1483	1487
1489	1493
1549	1553
1567	1571
1579	1583
1597	1601
1609	1613
1663	1667
1693	1697

p	(p+4)
1783	1787
1867	1871
1873	1877
1993	1997
1999	2003
2083	2087
2137	2141
2203	2207
2239	2243
2269	2273

p	(p+4)
2293	2297
2347	2351
2377	2381
2389	2393
2437	2441
2473	2477
2539	2543
2617	2621
2659	2663
2683	2687

p	(p+4)
2689	2693
2707	2711
2749	2753
2797	2801
2833	2837
2857	2861
2953	2957
3019	3023
3037	3041
3079	3083

p	(p+4)
3163	3167
3187	3191
3217	3221
3253	3257
3319	3323
3343	3347
3457	3461
3463	3467
3529	3533
3613	3617

p	(p+4)
3673	3677
3697	3701
3793	3797
3847	3851
3877	3881
3907	3911
3919	3923
3943	3947

(Folge A023200 in OEIS) und (Folge A046132 in OEIS)

Eigenschaften

Die einzige Primzahl, die zu zwei Paaren von Primzahlencousins gehört, ist 7. Eine der Zahlen $p,p+4$ oder $p+8$ ist immer durch 3 teilbar, also ist $p=3$ der einzige Fall, bei dem das Tripel $(p,p+4,p+8)$ aus drei Primzahlen besteht.

Am 5. März 2022 entdeckte Serge Batalov die momentan größten Primzahlencousins mit 51934 Stellen^[2]^[3]. Das Paar $(p,p+4)$ lautet wie folgt:

{\begin{array}{rcl}p&=&29055814795\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}-3\\p+4&=&29055814795\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}+1\end{array}}

Die Zahl $p+4$ ist sicherlich eine Primzahl, für die Zahl $p$ sieht die Situation allerdings etwas anders aus. Es gibt momentan keinen bekannten Primzahltest, der einfach bestimmen könnte, ob $p$ prim ist. $p$ ist eine PRP-Zahl (probable prime), also sehr wahrscheinlich eine Primzahl, weil sie Bedingungen erfüllt, die alle Primzahlen besitzen, die aber die meisten zusammengesetzten Zahlen nicht erfüllen.

Es folgt aus der ersten Hardy-Littlewood-Vermutung, dass Primzahlencousins dieselbe asymptotische Dichte haben wie Primzahlzwillinge. Eine Analogie zur Brunschen Konstante für Primzahlzwillinge kann auch für Primzahlencousins definiert werden. Sie heißt Brunsche Konstante für Primzahlencousins und ist das Ergebnis der konvergenten Summe^[4]^[5]

B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .

Dabei wird das erste Primzahlencousin-Paar (3, 7) weggelassen.

Wenn man alle Primzahlencousins bis $2^{42}$ einsetzt, so hat Marek Wolf im Jahr 1996 gezeigt, dass gilt:^[6]

$B_{4}\approx 1{,}1970449$ (Folge A194098 in OEIS)

Diese Konstante darf nicht mit der Brunschen Konstante für Primzahlvierlinge verwechselt werden, die ebenfalls mit $B_{4}$ bezeichnet wird, aber einen anderen Wert ergibt.

Zusammenfassung

Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:

(p, p+2)	Primzahlzwilling
(p, p+4)	Primzahlencousin
(p, p+6)	Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6)	Primzahldrilling
(p, p+6, p+12)	Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8)	Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18)	Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12)	Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24)	Sexy Primzahlfünfling

Literatur

David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 1-118-04571-8, S. 33.
Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger: Number theory: an introduction via the distribution of primes. Birkhäuser, 2007, ISBN 0-8176-4472-5, S. 206.