Brabham begann seine Motorsportkarriere im Kartsport, in dem er bis 2008 aktiv blieb. 2009 wechselte er in den Formelsport und fuhr zunächst mit australischer Lizenz in Australien. Er trat zunächst in der victorianischen Formel Ford an und wurde in seinem Debütjahr Neunter. 2010 verbesserte er sich auf den fünften Gesamtrang. Darüber hinaus fuhr Brabham 2010 auch in der australischen Formel Ford, in der er den 14. Gesamtplatz erreichte. 2011 blieb Brabham in beiden Serien. In der victorianischen Formel Ford wurde er Sechster, in der australischen Neunter.
2012 entschied sich Brabham für einen Wechsel nach Nordamerika. Er erhielt ein Cockpit bei Cape Motorsports with Wayne Taylor Racing in der U.S. F2000 National Championship. In der Winterserie wurde er mit einem Sieg Gesamtdritter hinter seinen Teamkollegen Spencer Pigot und Trent Hindman. In der regulären Meisterschaft gewann Brabham vier Rennen und stand insgesamt elfmal auf dem Podium. Mit 339 zu 332 Punkten setzte er sich gegen seinen Teamkollegen Pigot durch und wurde Meister. Darüber hinaus absolvierte er Gaststarts in Europa in der BARC Formel Renault.
Aufgrund seines Titelgewinns erhielt Brabham 2013 eine finanzielle Förderung für ein Cockpit in der Pro Mazda Championship. Er wurde von Andretti Autosport unter Vertrag genommen.[1] Brabham dominierte die Saison und gewann 13 von 16 Rennen. Nur bei einem Rennen, in dem er ausschied, stand er nicht auf dem Podium. Mit 466 Punkten setzte er sich gegen Diego Ferreira (357 Punkte) und seinen Teamkollegen Shelby Blackstock (297 Punkte) durch.
2014 blieb Brabham bei Andretti Autosport und erhielt ein Cockpit in der Indy Lights. Wegen seines Titelgewinns im Vorjahr wurde er erneut finanziell gefördert.[2] Brabham entschloss sich vor der Saison seine Lizenz zu wechseln und mit US-amerikanischer Lizenz zu starten. Brabham gewann die erste Liberty Challenge auf einer Straßenkursvariante des Indianapolis Motor Speedway und wurde auf dem Oval in Indianapolis Zweiter beim Freedom 100. Er stand bei zwei weiteren Indy-Lights-Rennen auf dem Podium. Die Saison schloss er auf dem vierten Gesamtrang ab. Damit lag er eine Position hinter seinem Teamkollegen Zach Veach. Darüber hinaus nahm Brabham Ende 2014 für Andretti an zwei Rennen der FIA-Formel-E-Meisterschaft teil.[3][4] Anfang 2015 ging Brabham für Andretti Autosport zu den ersten drei Rennen der Indy Lights an den Start.[5] Anschließend wechselte er in die Truck-Rennserie Speed Energy Formula Off-Road und trat zu sieben Rennen. Er kehrte für dieses Engagement wieder zur australischen Rennlizenz zurück.
2016 fuhr Brabham erneut in der Speed Energy Formula Off-Road. Darüber hinaus nahm er für das Team Murray an zwei Rennen der IndyCar Series2016 teil.
