Leonid Jengibarow wurde in Moskau in einer armenischen Familie geboren. Seine Mutter war von Beruf Schneiderin und sein Vater war Koch. Während seiner Schulzeit wurde er im Boxen beteiligt und nach der Schule studierte er am Institut für Leibeserziehung. Danach aber verließ Leonid das Institut, weil er erkannte, dass es nicht seine Berufung war, und ging 1955 an die Zirkusschule.
Ab 1956 spielte Jengibarow auf der Bühne als Pantomime, ab 1959 arbeitete er beim armenischen Zirkus.
Er schuf eine poetische, intellektuelle Clownkunst, die die Zuschauer zum Nachdenken, nicht nur zum Lachen verleitete. Er trat auch in Filmen auf. Sein erster Film, „Der Weg zur Arena“ (1963) erzählte seine eigene Geschichte.
Er starb im Alter von 36 Jahren an einem Herzinfarkt.
