Schickh war der Sohn eines Beamten der k. k. Linzer Wollenzeug-, Tuch- und Teppichfabrik und wurde selbst ein erfolgreicher Textilfabrikant. 1814 gründete er in Wien die Weiß- und Kurzwarenhandlung „Zu den drey Grazien“. Bekannt wurde er vor allem als Herausgeber der beliebten Wiener Moden-Zeitung, die er 1816 in Wien zusammen mit Wilhelm Hebenstreit ins Leben rief. Sie wurde 1817 in Wiener Zeitschrift für Kunst, Literatur, Theater und Mode umbenannt und etablierte sich – neben Adolf BäuerlesWiener Theaterzeitung – bald zu einem der wichtigsten Kulturjournale der österreichischen Metropole. Namentlich Franz Schubert und Ludwig van Beethoven wurden häufig erwähnt. Schickh war zudem eng mit Beethoven befreundet; sein Name erscheint mehrfach in den Konversationsheften des Komponisten. Einige seiner Werke erschienen sogar erstmals in Schickhs Zeitschrift, ebenso Werke von Franz Schubert.
Schickh war bis zu seinem Tod Herausgeber der Wiener Zeitschrift. Sein Nachfolger war Friedrich Witthauer.
Anton Schlossar, Die „Wiener Zeitschrift“ von J. Schickh und F. Witthauer. Ein Beitrag zur Geschichte des österreichischen Journalwesens in vormärzlicher Zeit, in: Zeitschrift für Bücherfreunde, Jg. 5 (1901/1902), S. 464–479.
Clemens Höslinger, Musik-Index zur „Wiener Zeitschrift für Kunst, Literatur, Theater und Mode“, 1816–1848, München-Salzburg: Katzbichler 1980.