Am 9. April 2011 ernannte Papst Benedikt XVI. Udvardy zum Bischof von Pécs. Die Amtseinführung erfolgte im selben Monat.
Papst Franziskus ernannte ihn am 12. Juli 2019 zum Erzbischof von Veszprém.[1] Die Amtseinführung fand am 31. August desselben Jahres statt. Das Bistum Pécs verwaltete er bis zum Amtsantritt seines Nachfolgers László Felföldi am 6. Januar 2021 als Apostolischer Administrator.