Francis Schulte trat nach dem Besuch der Norwood-Akademie und der Sankt-Joseph-Schule in das Priesterseminar St. Charles in Overbrook ein. Später graduierte er in Politikwissenschaft an der University of Pennsylvania und Verwaltungswissenschaften an der Harvard University Graduate School of Education. Er empfing am 10. Mai 1952 die Priesterweihe für das Erzbistum Philadelphia. Nach Tätigkeit als Lehrer an katholischen Schulen in Philadelphia war er von 1960 bis 1980 in der Leitung der katholischen Schulen der Diözese engagiert, immerhin das zweitgrößte katholische Schulwesen in den Vereinigten Staaten mit über 300 Institutionen und fast 200.000 Schülern und Studierenden. PapstPaul VI. verlieh ihm den EhrentitelÜberzähliger Geheimkämmerer Seiner Heiligkeit (Monsignore).
Am 4. Juni 1985 berief ihn Johannes Paul II. zum Bischof von Wheeling-Charleston und am 6. Dezember 1988 zum Erzbischof von New Orleans. Die feierliche Amtseinführung (Inthronisation) in New Orleans fand am 14. Februar 1989. Am 3. Januar 2002 nahm Papst Johannes Paul II. sein aus Altersgründen vorgebrachtes Rücktrittsgesuch an.
Schulte war in zahlreichen Organisationen und Ämtern im Fokus der Bildung engagiert. Er wurde mit sieben Ehrendoktorwürden geehrt, unter anderem durch die Villanova University und das LaSalle College.[2]