Ein exotischer ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit, welche homöomorph, aber nicht diffeomorph zum euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ist, also aus topologischer Sicht identisch, jedoch mit einer exotischen glatten Struktur. Exotische ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ergeben sich durch die starken Unterschiede zwischen topologischen 4-Mannigfaltigkeiten und glatten 4-Mannigfaltigkeiten, insbesondere wenn Resultate im topologischen Fall gelten und im glatten Fall nicht. Ein solcher Fehlschlag bei der Übertragung liegt dann an einem exotischen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, welcher sich durch Operationen wie Chirurgie, dort etwa als ausgeschnittene Scheibe, konstruieren lässt. In keiner anderen Dimensionen gibt es einen exotischen euklidischen Raum, also ist das Phänomen rein vierdimensional.

Exotische ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ergeben sich auf verschiedene Art aus der Kombination der Arbeiten von Michael Freedman zur Klassifikation von Freedman mit der Konstruktion der E8-Mannigfaltigkeit, eine nicht glättbare topologische Mannigfaltigkeit, und dem topologischen h-Kobordismus-Satz sowie den Arbeiten von Simon Donaldson zum Satz von Donaldson und dem Fehlschlag des glatten h-Kobordismus-Satzes. Beide wurden mit der Fields-Medaille im Jahr 1986 ausgezeichnet, wobei exotische ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ als glattes Phänomen zu Simon Donaldson zugeordnet wurden.^[1]

Exotische ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ kommen vom Fehlschlag der glatten Chirurgietheorie, in welchem die Einklebung einer Scheibe ${\displaystyle D^{4}}$ an ihre berandende Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$ keine glatte 4-Mannigfaltigkeit ergeben muss. Exotische 7-Sphären, genannt Milnor-Sphären, kommen von einem vollkommen analogen Fehlschlag, in welchem die Einklebung einer Scheibe ${\displaystyle D^{8}}$ an ihre berandende Sphäre ${\displaystyle S^{7}}$ keine glatte 8-Mannigfaltigkeit ergeben muss. Doch die Folgerungen sind unterschiedlich: In hinteren Fall hat ${\displaystyle D^{8}\cong \mathbb {R} ^{8}}$ keine exotische glatte Struktur, also muss ${\displaystyle S^{7}}$ eine für die Erklärung des Fehlschlages haben. Im vorderen Fall hat ${\displaystyle S^{3}}$ keine exotische glatte Struktur nach dem Satz von Moise,^[2] also muss ${\displaystyle D^{4}\cong \mathbb {R} ^{4}}$ eine für die Erklärung des Fehlschlages haben.

Ein konkretes Beispiel ist die K3-Fläche ${\displaystyle \mathrm {K3} }$, beschrieben durch die homogene Gleichung ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0}$ im Twistor-Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{3}}$.^[3][4] Nach der Klassifikation von Freedman^[5][6] ist diese homöomorph zur verbundenen Summe ${\displaystyle 2{\overline {M_{E_{8}}}}\#3(S^{2}\times S^{2})}$ aus zweimal der orientierungsumgekehrten E8-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M_{E_{8}}}$ und dreimal der komplexen Fläche ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1}\times \mathbb {C} P^{1}}$ aus dem Riemannschen Zahlenkugel mit sich selbst. Obwohl ${\displaystyle \mathrm {K3} }$ eine glatte 4-Mannigfaltigkeit ist, ist ${\displaystyle 2{\overline {M_{E_{8}}}}\#k(S^{2}\times S^{2})}$ für ${\displaystyle k=0,1,2}$ keine. Für ${\displaystyle k=0}$ folgt das aus dem Satz von Donaldson^[5][7] und für ${\displaystyle k=1,2}$ wurde es ebenfalls von Simon Donaldson gezeigt,^[8] obwohl der Satz von Donaldson selbst nicht mehr anwendbar ist. (Ein einfacheres Argument ergab sich später mit Seiberg-Witten-Invarianten.) Daher muss eine glatte Chirurgie entlang der verbindenden Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$, um eine, zwei oder drei ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$ aus der glatten K3-Fläche ${\displaystyle \mathrm {K3} }$ zu entfernen, fehlschlagen.^[9] (Es ist eine offene Frage, ob das ebenfalls für verbundene Summen der K3-Fläche ${\displaystyle \mathrm {K3} }$ gilt, was als 11/8-Vermutung bekannt ist.) Im einfachsten Fall der Chirurgie aller drei ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$ ergibt dessen Fehlschlag einen exotischen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ in ${\displaystyle \#3(S^{2}\times S^{2})}$.

Die Schnittform der glatten komplexen Fläche ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}\#9{\overline {\mathbb {C} P^{9}}}}$, das einfachste Beispiel einer elliptischen Fläche bekannt als Dolgachev-Fläche, ist ${\displaystyle [+1]\oplus 9[-1]\cong -E_{8}\oplus [+1]\oplus [-1]}$,^[10] wobei sich der Isomorphismus aus dem Satz von Hasse-Minkowski ergibt. Diese ist identisch mit jener der topologischen 4-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {\overline {M_{E_{8}}}}\#\mathbb {C} P^{2}\#*{\overline {\mathbb {C} P^{2}}}}$ unter Verwendung des falschen zweiten komplexen projektiven Raumes, daher besagt die Klassifikation von Freedman,^[5][6] dass beide homöomorph sind. Insbesondere ist ${\displaystyle {\overline {M_{E_{8}}}}\#\mathbb {C} P^{2}\#*{\overline {\mathbb {C} P^{2}}}}$ daher glättbar. Doch eine glatte Chirurgie zur Entfernung von ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$ resultiert in der nicht glättbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {\overline {M_{E_{8}}}}\#*{\overline {\mathbb {C} P^{2}}}}$,^[6] was daraus folgt, dass ihre Schnittform ${\displaystyle -E_{8}\oplus [-1]}$ negativ definit und nicht diagonalisierbar ist, was nach dem Satz von Donaldson im Fall von Glättbarkeit nicht möglich ist. Durch den Fehlschlag dieser Chirurgie ergibt sich ein exotischer ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$.

Die vorherige Konstruktion kann erweitert werden: Die Schnittform der glatten komplexen Fläche ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}\#10{\overline {\mathbb {C} P^{2}}}}$ ist ${\displaystyle [+1]\oplus 10[-1]\cong -E_{8}\oplus H\oplus [-1]}$,^[10] die gleiche wie für die topologische 4-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {\overline {M_{E_{8}}}}\#(S^{2}\times S^{2})\#*{\overline {\mathbb {C} P^{2}}}}$, daher besagt die Klassifikation von Freedman,^[5][6] dass beide homöomorph sind und hintere insbesondere glättbar. Doch eine glatte Chirurgie zur Entfernung von ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$ resultiert wieder in der nicht glättbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {\overline {M_{E_{8}}}}\#*{\overline {\mathbb {C} P^{2}}}}$. Durch den Fehlschlag dieser Chirurgie ergibt sich ein exotischer ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ in ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$.

Nach Michael Freedman gilt der vierdimensionale topologische h-Kobordismus-Satz, jedoch nach Simon Donaldson nicht der vierdimensionale glatte h-Kobordismus-Satz. Sei ${\displaystyle W}$ ein glatter h-Kobordismus zwischen glatten 4-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$, für welchen es keinen Diffeomorphismus ${\displaystyle W\cong M\times [0,1]}$ gibt, obwohl es einen Homöomorphismus ${\displaystyle W\cong M\times [0,1]}$ geben muss. In diesem Fall existiert ein offener Teilkobordismus ${\displaystyle U\subset W}$ mit einem Homomorphismus ${\displaystyle U\cong D^{4}\times [0,1]\cong \mathbb {R} ^{4}\times [0,1]}$ sowie ein kompakter zusammenziehbarer Teilkobordismus ${\displaystyle K\subset U}$, sodass ${\displaystyle W}$ und ${\displaystyle U}$ außerhalb von ${\displaystyle K}$ tatsächlich glatt triviale Kobordismen sind, also es folgende Diffeomorphismen gibt:

${\displaystyle W\setminus K\cong (M\setminus K)\times [0,1];}$

${\displaystyle U\setminus K\cong (U\cap M\setminus K)\times [0,1].}$

Nun verbindet ${\displaystyle U}$ die beiden offenen Teilmengen ${\displaystyle U\cap M\setminus K}$ und ${\displaystyle U\cap N\setminus K}$, welche homöomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ sind, jedoch nicht diffeomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ sein können, da daraus ein Diffeomorphismus ${\displaystyle W\cong M\times [0,1]}$ folgen würde.^[10]

• Daniel Freed und Karen Uhlenbeck: Instantons and Four-Manifolds (= Mathematical Sciences Research Institute Publications. Band 1). Springer, New York 1984, ISBN 1-4613-9705-7, doi:10.1007/978-1-4613-9703-8 (englisch). 
• Alexandru Scorpan: The Wild World of 4-Manifolds. Hrsg.: American Mathematical Society. 2005, ISBN 1-4704-6861-1 (englisch). 

1. ↑ Fields Medals 1986 - Donaldson, Faltings, Freedman Achievements. Abgerufen am 4. Juli 2026. 
2. ↑ Scorpan 05, S. 101
3. ↑ Freed & Uhlenbeck 84, S. 21
4. ↑ Scorpan 05, S. 130
5. ↑ ^{a b c d} Freed & Uhlenbeck 84, p. 22–24
6. ↑ ^{a b c d} Scorpan 05, S. 240–243
7. ↑ Scorpan 05, S. 243
8. ↑ Scorpan 05, S. 248
9. ↑ Freed & Uhlenbeck 84, S. 24–30
10. ↑ ^{a b c} Scorpan 05, S. 250–259