In der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine endliche Menge eine Menge mit endlich vielen Elementen. So ist beispielsweise die Menge
eine endliche Menge mit vier Elementen. Die leere Menge hat gemäß ihrer Definition keine Elemente, d. h. die Anzahl der Elemente ist 0 {\displaystyle 0} , sie gilt daher auch als endliche Menge. Die Mächtigkeit oder Kardinalität, geschrieben | M | {\displaystyle |M|} für eine Menge M {\displaystyle M} , einer endlichen Menge wird mit einer natürlichen Zahl (unter Einbeziehung der Null) identifiziert. Beispielsweise schreibt man dann | M | = 4 {\displaystyle |M|=4} , um auszudrücken, dass M {\displaystyle M} aus vier Elementen besteht.
Eine Menge, die nicht endlich ist, wird als unendliche Menge bezeichnet.
Eine Menge M {\displaystyle M} heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n {\displaystyle n} gibt, sodass eine Bijektion (eine Eins-zu-eins-Zuordnung)
zwischen M {\displaystyle M} und der Menge N n {\displaystyle N_{n}} aller natürlichen Zahlen kleiner als n {\displaystyle n} existiert.
Insbesondere ist die leere Menge ∅ ∅ --> := { } {\displaystyle \emptyset :=\{\}} endlich, da eine Bijektion zwischen ∅ ∅ --> {\displaystyle \emptyset } und der leeren Menge N 0 {\displaystyle N_{0}} (alle natürlichen Zahlen kleiner als 0 {\displaystyle 0} , solche existieren nicht) trivialerweise existiert.
So ist zum Beispiel die Menge
endlich, da eine Bijektion zur Menge
existiert, siehe etwa nebenstehende Abbildung.
Bei dieser aufzählenden Mengennotation kommt es auf die Reihenfolge nicht an. Ferner wird ein mehrfach genanntes Element nur einmal mit einbezogen. Es ist also beispielsweise
Für die Menge aller natürlichen Zahlen
existiert hingegen keine solche Bijektion auf eine endliche Menge, die Menge N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} ist daher unendlich.
Eine andere Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Mengen stammt von Dedekind. Er definierte:
Man spricht heute von Dedekind-Endlichkeit bzw. Dedekind-Unendlichkeit.
Um nun zu zeigen, dass jede endliche Menge auch Dedekind-endlich ist, genügt es, Folgendes zu zeigen:
(Punkt 1 ist klar, da die leere Menge keine echten Teilmengen hat. Zu Punkt 2 muss man zeigen, dass man aus einer Bijektion f ′ {\displaystyle f'} zwischen der Menge M ′ := M ∪ ∪ --> { a } {\displaystyle M':=M\cup \{a\}} und einer echten Teilmenge U ′ {\displaystyle U'} von M ′ {\displaystyle M'} eine Bijektion f {\displaystyle f} zwischen M {\displaystyle M} und einer echten Teilmenge U {\displaystyle U} gewinnen kann.)
Umgekehrt ist jede Dedekind-endliche Menge A {\displaystyle A} auch endlich, denn wäre A {\displaystyle A} unendlich, so könnte man mit Hilfe des Auswahlaxioms eine Folge F := ( a 0 , a 1 , a 2 , … … --> ) = ( a n ) n ∈ ∈ --> N 0 {\displaystyle F:=(a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}} von paarweise verschiedenen Elementen a n ∈ ∈ --> A {\displaystyle a_{n}\in A} finden. Die Abbildung
ist wohldefiniert, denn, wenn a ∈ ∈ --> F {\displaystyle a\in F} , dann gibt es ein n ∈ ∈ --> N 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} mit a n = a {\displaystyle a_{n}=a} und dieses ist eindeutig. Sie zeigt, dass A {\displaystyle A} zur echten Teilmenge A ∖ ∖ --> { a 0 } {\displaystyle A\setminus \{a_{0}\}} gleichmächtig und damit nicht Dedekind-endlich ist – im Widerspruch zur Voraussetzung.
Eine Menge A {\displaystyle A} heißt erblich endlich, wenn die transitive Hülle endlich ist. Das heißt, dass nicht nur A {\displaystyle A} endlich ist, sondern auch alle Elemente aus A {\displaystyle A} endliche Mengen sind, und deren Elemente ebenfalls endliche Mengen sind, und so weiter.
Nach Definition sind alle erblich-endlichen Mengen endlich. Die Umkehrung gilt nicht, so ist etwa { N 0 } {\displaystyle \{\mathbb {N} _{0}\}} eine endliche Menge, denn sie enthält als einziges Element N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} , aber das Element N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} selbst ist nicht endlich.
In der abstrakten Mengenlehre werden die natürlichen Zahlen als erblich endliche Mengen eingeführt:
Damit sind die natürlichen Zahlen selbst endliche Mengen, sogar erblich endlich, und es gilt | n | = n {\displaystyle |n|=n} für jede natürliche Zahl n {\displaystyle n} , wobei hier die senkrechten Striche nicht für die Betragsfunktion stehen, sondern für die Mächtigkeit. Das ist der Grund, warum oben in der Einleitung bei der Definition der Gleichmächtigkeit die Menge { 0 , 1 , … … --> , n − − --> 1 } {\displaystyle \{0,1,\dotsc ,n-1\}} an Stelle von { 1 , 2 , … … --> , n } {\displaystyle \{1,2,\dotsc ,n\}} gewählt wurde. Letzteres wäre zwar auch richtig gewesen, aber die getroffene Wahl passt besser zur Definition der natürlichen Zahlen, wonach eine Menge die Mächtigkeit n {\displaystyle n} hat, wenn sie zu n := N n {\displaystyle n:=N_{n}} gleichmächtig ist.
Durchschnitte, Vereinigungen und Produkte erblich endlicher Mengen sind wieder erblich endlich. Die Menge aller erblich endlichen Mengen ist genau die Stufe V ω ω --> {\displaystyle V_{\omega }} der Von-Neumann-Hierarchie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.
Die Endlichkeit einer Menge lässt sich auch ordnungstheoretisch fassen. Hier ist insbesondere das auf Alfred Tarski zurückgehende Konzept der Tarski-Endlichkeit zu nennen.
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