Doppeloperatorintegrale (DOI, englisch Double Operator Integrals) sind in der Funktionalanalysis und der Störungstheorie Integrale der Form

${\displaystyle \operatorname {Q} _{\varphi }:=\int _{N}\int _{M}\varphi (x,y)\mathrm {d} E(x)\operatorname {T} \mathrm {d} F(y),}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {T} :G\to H}$ ein beschränkter linearer Operator zwischen zwei separablen Hilberträumen ist,

${\displaystyle E:(N,{\mathcal {A}})\to P(H),}$

${\displaystyle F:(M,{\mathcal {B}})\to P(G)}$

zwei Spektralmaße sind, wobei ${\displaystyle P(H)}$ hier für die Menge der orthogonalen Projektionen über ${\displaystyle H}$ steht, und ${\displaystyle \varphi }$ eine messbare skalarwertige Funktion ist, welche Symbol des DOI genannt wird. Die Integrale sind hier in Form von Stieltjes-Integralen zu verstehen.

DOI tauchten das erste Mal 1956 in einer Arbeit von Yuri L. Daletskii und Selim G. Krein auf, welche zwei selbstadjungierte Operatoren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle K}$ auf Hilberträumen untersuchten (wobei ${\displaystyle K}$ die Perturbation von ${\displaystyle A}$ ist) und die Ableitung für bestimmte operatorwertige Funktionen

${\displaystyle t\mapsto f(A+tK),\quad f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

in folgender Form

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(f(A+tK)\right){\bigr \vert }_{t=0}=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\mathrm {d} E_{A}(x)K\mathrm {d} E_{A}(y)}$

fanden, wobei hier ${\displaystyle E_{A}(\cdot )}$ das Spektralmaß von ${\displaystyle A}$ ist.^[1] Die Theorie der Doppeloperatorintegrale wurde im Wesentlichen von Michail Schljomowitsch Birman und Mikhail Zakharovich Solomyak in den späten 1960ern und 1970ern entwickelt.^[2][3] DOI können verwendet werden, um Normen von Operatoren-Differenzen

${\displaystyle \|f(A)-f(B)\|}$

für operator-lipschitzstetige Funktionen ${\displaystyle f}$ abzuschätzen und sind dadurch wichtig in der Störungstheorie.

DOI sind Spezialfälle der Multipleoperatorintegralen^[4]

${\displaystyle \int \cdots \int \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})\mathrm {d} E_{1}(x_{1})\operatorname {T_{1}} \mathrm {d} E_{2}(x_{2})\operatorname {T_{2}} \cdots \operatorname {T} _{n-1}\mathrm {d} E_{n}(x_{n}).}$

Die Definition des Integrales induziert direkt eine weitere Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Q} _{\varphi }=\operatorname {J} _{\varphi }^{E,F}\operatorname {T} ,}$

welche Transformator genannt wird.

Wie sich herausstellt, hängt die Definition solcher DOI sowie die Klasse der zulässigen Symbolen ${\displaystyle \varphi }$ von der Wahl der betrachteten Operatorenräumen ab. In der ursprünglichen Betrachtung von Birman-Solomyak wurde der Operator ${\displaystyle T}$ auf die Klasse der Hilbert-Schmidt-Operatoren ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$ eingeschränkt. Die Definition kann aber auf weitere Schatten-von-Neumann-Klassen respektive auf allgemeine beschränkte Operatoren ${\displaystyle T}$ erweitert werden, so lange ${\displaystyle \operatorname {Q} _{\varphi }}$ auch beschränkt bleibt.

Birman-Solomyak definierten nun folgendes Spektralproduktmaß ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ durch

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Lambda \times \Delta )\operatorname {T} :=E(\Lambda )\operatorname {T} F(\Delta ),\quad \operatorname {T} \in {\mathcal {S}}_{2},}$

für messbare Mengen ${\displaystyle \Lambda \times \Delta \subset N\times M}$, wo durch ${\displaystyle \operatorname {Q} _{\varphi }}$ durch

${\displaystyle \operatorname {Q} _{\varphi }:=\left(\int _{N\times M}\varphi (\lambda ,\mu )\;\mathrm {d} {\mathcal {E}}(\lambda ,\mu )\right)\operatorname {T} }$

für beschränkte und messbare Funktionen ${\displaystyle \varphi }$ definiert werden kann.

Wir betrachten nur einen Hilbertraum ${\displaystyle H=G}$ und zwei beschränkte, selbstadjungierte Operatoren ${\displaystyle A,B}$ auf ${\displaystyle H}$. Sei nun ${\displaystyle \operatorname {T} :=B-A}$ und ${\displaystyle f}$ eine Funktion auf einer Menge, die die Spektra von ${\displaystyle A,B}$ enthält. Weiter sei ${\displaystyle \operatorname {J} _{f}:=\operatorname {J} _{f}^{E,F}}$ der Transformator und ${\displaystyle I}$ der Identitätsoperator. Es gilt nach dem Spektralsatz ${\displaystyle \operatorname {J} _{\lambda }I=A}$ und ${\displaystyle \operatorname {J} _{\mu }I=B}$ und ${\displaystyle \operatorname {J} _{\mu -\lambda }I=\operatorname {T} }$, daraus folgt

${\displaystyle f(B)-f(A)=\operatorname {J} _{f(\mu )-f(\lambda )}I=\operatorname {J} _{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\operatorname {J} _{\mu -\lambda }I=\operatorname {J} _{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\operatorname {T} =\operatorname {Q} _{\varphi }}$

und somit

${\displaystyle f(B)-f(A)=\int _{\sigma (A)}\int _{\sigma (B)}{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}(\mu -\lambda )\mathrm {d} E_{A}(\lambda )\mathrm {d} F_{B}(\mu )=\int _{\sigma (A)}\int _{\sigma (B)}{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\mathrm {d} E_{A}(\lambda )\operatorname {T} \mathrm {d} F_{B}(\mu ).}$^[5][6]

• M. S. Birman und M. Z. Solomyak: Double Stieltjes operator integrals. In: Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation (Hrsg.): Topics of Math. Physics. Band 1, 1967, S. 25–54. 
• M. S. Birman und M. Z. Solomyak: Double Stieltjes operator integrals. II. In: Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation (Hrsg.): Topics of Math. Physics. Band 2, 1968, S. 19–46. 
• Vladimir V. Peller: Multiple operator integrals in perturbation theory. In: Bull. Math. Sci. Band 6, 2016, S. 15–88, doi:10.1007/s13373-015-0073-y. 
• M. S. Birman und M. Solomyak: Lectures on Double Operator Integrals. 2002 (a mini-course given by the authors at the Mittag-Leffler Institute). 

1. ↑ Y.L.Daletskii und S.G. Krein: Integration and differentiation of functions of Hermitian operators and application to the theory of perturbations. In: Staatliche Universität Woronesch (Hrsg.): Trudy Sem. po Funktsion. Analizu. Band 1, 1956, S. 81–105 (russisch). 
2. ↑ M. S. Birman und M. Z. Solomyak: Double Stieltjes operator integrals. In: Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation (Hrsg.): Topics of Math. Physics. Band 1, 1967, S. 25–54. 
3. ↑ M. S. Birman und M. Z. Solomyak: Double Stieltjes operator integrals. II. In: Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation (Hrsg.): Topics of Math. Physics. Band 2, 1968, S. 19–46. 
4. ↑ Vladimir V. Peller: Multiple operator integrals in perturbation theory. In: Bull. Math. Sci. Band 6, 2016, S. 15–88, doi:10.1007/s13373-015-0073-y. 
5. ↑ M. S. Birman und M. Solomyak: Double Operator Integrals in a Hilbert Space. In: Integr. equ. oper. theory. Band 47, 2003, S. 136–137, doi:10.1007/s00020-003-1157-8. 
6. ↑ M. S. Birman und M. Solomyak: Lectures on Double Operator Integrals. 2002 (a mini-course given by the authors at the Mittag-Leffler Institute).