In der Mathematik spielen arithmetische Gruppen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, Differentialgeometrie, Topologie, Algebraischen Geometrie und in der Theorie der Lie-Gruppen. Es handelt sich um arithmetisch definierte Gitter in Lie-Gruppen; klassische Beispiele sind die Modulgruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$ und allgemein die Gruppen ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$. Arithmetizität ist stets in Bezug auf eine umgebende Lie-Gruppe definiert. Nach einem Satz von Margulis sind alle irreduziblen Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang ${\displaystyle \geq 2}$ ohne kompakten Faktor immer arithmetische Untergruppen.

Sei ${\displaystyle G}$ eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe, ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ eine Untergruppe. ${\displaystyle \Gamma }$ heißt arithmetisch, wenn es

• eine über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe ${\displaystyle \mathrm {G} ^{\prime }\subset GL(n,\mathbb {C} )}$ und
• einen Isomorphismus ${\displaystyle \phi :G/K\rightarrow \mathrm {G} ^{\prime }(\mathbb {R} )_{0}/K^{\prime }}$ (für geeignete kompakte Normalteiler ${\displaystyle K,K^{\prime }}$)

gibt, so dass ${\displaystyle \phi (\Gamma K)}$ kommensurabel zu ${\displaystyle (\mathrm {G} (\mathbb {Z} )^{\prime }\cap \mathrm {G} ^{\prime }(\mathbb {R} )_{0})K^{\prime }}$ ist.

Anmerkung: Eine über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definierte lineare algebraische Gruppe ist – per Definition – eine durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definierte Untergruppe ${\displaystyle G\subset GL(n,\mathbb {C} )}$. Wenn ${\displaystyle \mathrm {G} }$ eine über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definierte lineare algebraische Gruppe ist, dann ist nach dem Satz von Borel und Harish-Chandra ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Z} )}$ ein Gitter in ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {R} )}$. Folglich ist jede arithmetische Gruppe ein Gitter in der Zusammenhangskomponente der umgebenden Lie-Gruppe.

• Nach Definition ist klar, dass ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )\subset SL(n,\mathbb {R} )}$ und auch zu ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$ kommensurable Gruppen arithmetisch sind.

• Bezeichne ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[i\right]\subset \mathbb {C} }$ die Gruppe der ganzen Gaußschen Zahlen. ${\displaystyle GL(n,\mathbb {Z} \left[i\right])}$ ist eine arithmetische Untergruppe von ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$, denn es ist ${\displaystyle \phi (GL(n,\mathbb {Z} \left[i\right])=\phi (GL(n,\mathbb {C} ))\cap GL(2n,\mathbb {Z} )}$ für die kanonische Einbettung ${\displaystyle \phi :GL(n,\mathbb {C} )\rightarrow GL(2n,\mathbb {R} )}$.

• Sei ${\displaystyle SO(1,n)=\left\{g\in SL(n+1,\mathbb {R} ):gI_{1,n}g^{T}=I_{1,n}\right\}}$, wobei ${\displaystyle I_{1,n}}$ die Diagonalmatrix ${\displaystyle I_{1,n}=diag(1,-1,-1,\ldots ,-1)}$ bezeichnet und sei ${\displaystyle SO(1,n,\mathbb {Z} )=SO(1,n)\cap SL(n+1,\mathbb {Z} )}$. Dann ist ${\displaystyle SO(1,n,\mathbb {Z} )}$ eine arithmetische Untergruppe von ${\displaystyle SO(1,n)}$, denn ${\displaystyle SO(1,n)}$ ist durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definiert.

• Im Folgenden wollen wir die Definition auf eine Klasse von weniger offensichtlichen Beispielen anwenden, nämlich auf die Hilbertschen Modulgruppen.

Sei

${\displaystyle k=Q\left[{\sqrt {D}}\right]=\left\{a+b{\sqrt {D}}:a,b\in \mathbb {Q} \right\}}$

ein reeller quadratischer Zahlkörper – für eine quadratfreie ganze Zahl ${\displaystyle D>0}$ mit ${\displaystyle D\cong 3\ mod\ 4}$ – und ${\displaystyle O_{k}\subset k}$ sein Ganzheitsring. Es gibt zwei durch ${\displaystyle \sigma _{\pm }(a+b{\sqrt {D}})=a\pm b{\sqrt {D}}}$ definierte Einbettungen ${\displaystyle \sigma _{\pm }:k\rightarrow \mathbb {R} }$ und dementsprechend zwei Einbettungen ${\displaystyle \sigma _{\pm }:SL(2,k)\rightarrow SL(2,\mathbb {R} )}$.

Wir betrachten die halbeinfache Lie-Gruppe

${\displaystyle G=SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )}$

und die Untergruppe

${\displaystyle \Gamma =\left\{(\sigma _{+}(A),\sigma _{-}(A)):A\in SL(2,O_{k})\right\}\subset G}$

und wollen zeigen, dass ${\displaystyle \Gamma }$ eine arithmetische Gruppe ist.

Wir betrachten zunächst die algebraische Varietät

${\displaystyle \mathrm {H} :=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:d=a,c=bD\right\}\subset Mat(2,\mathbb {C} )}$

und den durch

${\displaystyle \psi (a+b{\sqrt {D}})={\begin{pmatrix}a&b\\bD&a\end{pmatrix}}}$ definierten Homomorphismus :${\displaystyle \psi :k\rightarrow \mathrm {H} (\mathbb {Q} )\subset Mat(2,\mathbb {Q} )}$.

Dann ist ${\displaystyle \psi (O_{k})=\mathrm {H} (\mathbb {Z} )}$.

Wir bemerken, dass es einen bijektiven (additiven und multiplikativen) Homomorphismus ${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathrm {H} (\mathbb {R} )}$ mit

${\displaystyle \Psi \circ (\sigma _{+},\sigma _{-})=\psi }$,

also ${\displaystyle \Psi (a+b{\sqrt {D}},a-b{\sqrt {D}})=\psi (a+b{\sqrt {D}})}$ für alle ${\displaystyle a+b{\sqrt {D}}\in k}$ gibt, nämlich ${\displaystyle \Psi (x,y)={\begin{pmatrix}{\frac {x+y}{2}}&{\frac {x-y}{2{\sqrt {D}}}}\\{\frac {x-y}{2}}{\sqrt {D}}&{\frac {x+y}{2}}\end{pmatrix}}}$.

Nun betrachten wir die lineare algebraische Gruppe

${\displaystyle \mathrm {G} :=\left\{X={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}:A,B,C,D\in \mathrm {H} ,AD-BC={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\subset GL(4,\mathbb {C} )}$.

(Hier sind ${\displaystyle A,B,C,D}$ 2x2-Blöcke in einer 4x4-Matrix.)

Wir definieren einen Gruppen-Homomorphismus

${\displaystyle \phi :SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )\rightarrow \mathrm {G} (\mathbb {R} )\subset GL(4,\mathbb {R} )}$ durch ${\displaystyle \phi \left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a^{\prime }&b^{\prime }\\c^{\prime }&d^{\prime }\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}\Psi (a,a^{\prime })&\Psi (b,b^{\prime })\\\Psi (c,c^{\prime })&\Psi (d,d^{\prime })\end{pmatrix}}}$.

${\displaystyle \phi }$ bildet tatsächlich nach ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {R} )}$ ab: offensichtlich liegen die Blöcke der Bildmatrizen in ${\displaystyle \mathrm {H} }$, außerdem ist ${\displaystyle \Psi (a,a^{\prime })\Psi (d,d^{\prime })-\Psi (b,b^{\prime })\Psi (c,c^{\prime })={\begin{pmatrix}{\frac {\det(X)+\det(Y)}{2}}&{\frac {\det(X)-\det(Y)}{2{\sqrt {D}}}}\\{\frac {\det(X)-\det(Y)}{2}}{\sqrt {D}}&{\frac {\det(X)+\det(Y)}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},Y={\begin{pmatrix}a^{\prime }&b^{\prime }\\c^{\prime }&d^{\prime }\end{pmatrix}}}$.

Aus der Bijektivität von ${\displaystyle \Psi }$ folgt, dass auch ${\displaystyle \phi }$ bijektiv und mithin ein Isomorphismus ist.

Wegen ${\displaystyle \phi (\Gamma )=\mathrm {G} (\mathbb {Z} )}$ beweist das die Arithmetizität von ${\displaystyle \Gamma }$.

Alle arithmetischen Untergruppen von ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ kann man mittels Divisionsalgebren, mittels unitärer Gruppen oder mittels einer Kombination dieser beiden Methoden konstruieren.

Sei ${\displaystyle }$ eine Körpererweiterung von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ mit ${\displaystyle \left[F:\mathbb {Q} \right]=d}$ und sei ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ der Ganzheitsring von ${\displaystyle F}$. Sei ${\displaystyle j\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle j^{d}\in \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle jx=\eta (x)j}$ für das nichttriviale Element ${\displaystyle \eta \in Gal(F/\mathbb {Q} )}$ und alle ${\displaystyle x\in F}$.

Wir betrachten die Divisionsalgebra ${\displaystyle D=F+Fj+Fj^{2}+\ldots +Fj^{d-1}}$ und ${\displaystyle D_{\mathbb {Z} }={\mathcal {O}}+{\mathcal {O}}j+{\mathcal {O}}j^{2}+\ldots +{\mathcal {O}}j^{d-1}}$.

Dann ist ${\displaystyle SL(n,D_{\mathbb {Z} })}$ eine arithmetische Untergruppe von ${\displaystyle SL(dn,\mathbb {R} )}$.

Sei ${\displaystyle F=\mathbb {Q} \left[{\sqrt {r}}\right]}$ mit ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$ und sei ${\displaystyle \eta \in Gal(F/\mathbb {Q} )}$ das nichttriviale Element der Galoisgruppe. Sei ${\displaystyle A\in GL(n,F)}$ eine hermitesche Matrix.

Wir betrachten ${\displaystyle SU(A,\eta ;F)=\left\{g\in SL(n,F):gA(\eta (g))^{T}=A\right\}}$.

Dann ist ${\displaystyle SU(A,\eta ;\mathbb {Z} \left[{\sqrt {r}}\right])=SU(A,\eta ;F)\cap SL(n,\mathbb {Z} \left[{\sqrt {r}}\right])}$ eine arithmetische Untergruppe von ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$.

Sei ${\displaystyle F=\mathbb {Q} \left[{\sqrt {r}}\right]}$ mit ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$ und sei ${\displaystyle \eta \in Gal(F/\mathbb {Q} )}$ das nichttriviale Element. Sei ${\displaystyle D}$ eine Divisionsalgebra über ${\displaystyle F}$, so dass ${\displaystyle \eta }$ zu einem Antiautomorphismus von ${\displaystyle D}$ fortgesetzt werden kann. Sei ${\displaystyle A\in GL(n,D)}$ eine hermitesche Matrix, d. h. ${\displaystyle (\eta (A))^{T}=A}$.

Dann ist ${\displaystyle SU(A,\eta ;D_{\mathbb {Z} })}$ eine arithmetische Untergruppe von ${\displaystyle SU(A,\eta ;D\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} )}$.

Sei ${\displaystyle G\subset GL(n,\mathbb {C} )}$ eine algebraische Gruppe. Ein Torus ist eine abgeschlossene, zusammenhängende Untergruppe ${\displaystyle T\subset G}$, die (über ${\displaystyle \mathbb {C} }$) diagonalisierbar ist, das heißt, es gibt einen Basiswechsel ${\displaystyle B\in GL(n,\mathbb {C} )}$, so dass ${\displaystyle BTB^{-1}}$ aus diagonalisierbaren Matrizen besteht.

Der Torus heißt ${\displaystyle \mathbb {R} }$-spaltend, wenn man ${\displaystyle B\in GL(n,\mathbb {R} )}$ wählen kann. Zum Beispiel ist ${\displaystyle SO(2)}$ kein ${\displaystyle \mathbb {R} }$-spaltender Torus in ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$, die Gruppe der Diagonalmatrizen (mit Determinante 1) aber doch. Der ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Rang einer algebraischen Gruppe ist die maximale Dimension eines ${\displaystyle \mathbb {R} }$-spaltenden Torus. Zum Beispiel ist ${\displaystyle \mathbb {R} -rk(SL(n,\mathbb {R} ))=n-1}$ oder ${\displaystyle \mathbb {R} -rk(SO(n))=0}$.

Ein Torus heißt ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-spaltend, wenn er über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definiert ist und man ${\displaystyle B\in GL(n,\mathbb {Q} )}$ wählen kann.

Für eine arithmetische Gruppe ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ gibt es per Definition eine über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe ${\displaystyle \mathrm {G} }$ und einen Isomorphismus ${\displaystyle \phi }$, so dass (modulo kompakter Gruppen) das Bild von ${\displaystyle \Gamma }$ zu ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {R} )_{0}}$ isomorph ist. Der ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Rang von ${\displaystyle \Gamma }$ wird definiert als die Dimension eines maximalen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-spaltenden Torus in ${\displaystyle \mathrm {G} }$. (Man beachte, dass ${\displaystyle \mathbb {Q} -rk(\Gamma )}$ nur von ${\displaystyle \mathrm {G} }$ abhängt, dass aber verschiedene arithmetische Untergruppen ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2}\subset G}$ einer Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ unterschiedlichen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Rang haben können, weil die zu wählenden algebraischen Gruppen ${\displaystyle \mathrm {G} _{1},\mathrm {G} _{2}}$ sich unterscheiden.)

Man sieht leicht, dass ${\displaystyle \mathbb {R} -rk(SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} ))=\mathbb {Q} -rk(SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} ))=2}$. Die arithmetische Untergruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )\times SL(2,\mathbb {Z} )\subset SL(2,R)\times SL(2,\mathbb {R} )}$ hat also ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Rang ${\displaystyle 2}$. Der ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Rang der oben besprochenen Hilbertschen Modulgruppe ist hingegen der ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Rang der oben konstruierten Gruppe ${\displaystyle \mathrm {G} :=\left\{X={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}:A,B,C,D\in \mathrm {H} ,\det(X)=1\right\}\subset GL(4,\mathbb {C} )}$. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \left\{diag(\lambda ,\lambda ,{\frac {1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }}):\lambda \in \mathbb {R} ^{\times }\right\}}$ ein maximaler ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-spaltender Torus in ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {R} )}$ ist, mithin ${\displaystyle \mathbb {Q} -rk(\Gamma )=\mathbb {Q} -rk(\mathrm {G} (\mathbb {R} ))=1}$.

Sei ${\displaystyle G}$ eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor, ${\displaystyle K}$ eine maximal kompakte Untergruppe und ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ein arithmetisches Gitter. Die Killing-Form definiert eine riemannsche Metrik auf ${\displaystyle G/K}$, man erhält einen symmetrischen Raum. Der ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Rang von ${\displaystyle G}$ lässt sich interpretieren als die Dimension eines maximalen flachen Unterraumes (d. h. einer einfach zusammenhängenden total-geodätischen Untermannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant ${\displaystyle 0}$) in ${\displaystyle G/K}$.

Der Quotient ${\displaystyle X=\Gamma \backslash G/K}$ ist ein lokal symmetrischer Raum. Der ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Rang von ${\displaystyle \Gamma }$ lässt sich interpretieren als die maximale Dimension eines flachen Unterraumes in einer endlichen Überlagerung von ${\displaystyle X}$ oder als die kleinste Zahl ${\displaystyle r}$, so dass ganz ${\displaystyle X}$ in endlichem Abstand von einer endlichen Vereinigung ${\displaystyle r}$-dimensionaler flacher Unterräume ist. Insbesondere ist ${\displaystyle \mathbb {Q} -rk(\Gamma )=0}$, falls ${\displaystyle X}$ kompakt ist.

Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ in einer halbeinfachen Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ ist arithmetisch dann und nur dann, wenn ${\displaystyle \Gamma }$ unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn ${\displaystyle [\operatorname {comm} _{G}(\Gamma ):\Gamma ]=\infty }$.

Satz: Sei ${\displaystyle G}$ eine halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor mit ${\displaystyle \mathbb {R} -rk(G)\geq 2}$. Dann ist jedes irreduzible Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ arithmetisch.

Erläuterungen: Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ mit ${\displaystyle vol(\Gamma \backslash G)<\infty }$, wobei das Volumen bzgl. des Haarmaßes berechnet wird. Ein Gitter heißt irreduzibel, falls es keine Zerlegung ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2},\Gamma =\Gamma _{1}\times \Gamma _{2}}$ mit Gittern ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$ gibt.

Margulis bewies diesen Satz als eine Folgerung aus dem von ihm bewiesenen Superstarrheitssatz.^[1]

• Lizhen Ji: Arithmetic groups and their generalizations. What, why, and how (= Studies in Advanced Mathematics. Bd. 43). American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-4675-9.
• Vladimir Platonov, Andrei Rapinchuk: Algebraic Groups and Number Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 139). Academic Press, Boston MA u. a. 1994, ISBN 0-12-558180-7, Digitalisat (PDF; 22,46 MB).

• Witte Morris, Dave: Introduction to Arithmetic Groups
• Witte Morris, Dave: Introduction to Arithmetic Groups (Folien einer Vortragsreihe; PDF; 537 kB)

1. ↑ Margulis, G.A.: Arithmeticity of the irreducible lattices in the semisimple groups of rank greater than 1. Invent. Math (1984) 76 - 93. doi:10.1007/BF01388494