Adolf Albrecht wurde als Sohn eines Schneidermeisters geboren und machte nach dem Besuch der Volksschule bis 1874 ebenfalls eine Schneiderlehre in Leipzig. Anschließend ging er auf Wanderschaft und arbeitete bis 1884 als Schneidergeselle. Danach machte er sich als Schneidermeister selbstständig.
Bereits 1874 war Albrecht in eine der SPD-Vorgängerorganisationen und der Schneidergewerkschaft eingetreten und war zwischen 1876 und 1877 Vorsitzender der Partei in Flensburg. In den folgenden Jahren bis 1888 war er ein führender Funktionär der SPD in Leipzig. Im Frühjahr 1888 wurde er wegen Verbreitung des Sozialdemokrat zu zehn Monaten Gefängnis verurteilt. Am 21. November 1888 wurde er auf Grund des Sozialistengesetzes aus Leipzig ausgewiesen. Ein Jahr später auch aus Dresden ausgewiesen. Nach der Ausweisung siedelte er 1889 nach Halle an der Saale um, wo er ein Zigarrengeschäft betrieb. Außerdem war er von 1895 bis 1901 dort Mitglied der Stadtverordnetenversammlung, seit 1919 Stadtrat.
Albrecht, Carl Leopold Adolf. In: Helga Berndt: Biographische Skizzen von Leipziger Arbeiterfunktionären. Dokumentation zum 100. Jahrestag des Sozialistengesetzes 1878–1890. Akademie-Verlag, Berlin 1976, S. 81–82.
Wilhelm Heinz Schröder: Sozialdemokratische Parlamentarier in den deutschen Reichs- und Landtagen 1867–1933. Biographien, Chronik, Wahldokumentation. Ein Handbuch (= Handbücher zur Geschichte des Parlamentarismus und der politischen Parteien. Band 7). Droste, Düsseldorf 1995, ISBN 3-7700-5192-0, S. 345.