Der Adjunktionsraum (auch Verklebungsraum) ist in der Topologie ein Quotientenraum, der durch das Verkleben zweier topologischer Räume entsteht.

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei topologische Räume. Weiter sei ${\displaystyle A\subseteq Y}$ ein abgeschlossener Unterraum und ${\displaystyle f\colon A\to X}$ eine stetige Abbildung. Nun definieren wir auf der disjunkten Vereinigung ${\displaystyle X\sqcup Y}$ eine Äquivalenzrelation ${\displaystyle \sim }$ durch

${\displaystyle a\sim f(a),\;\forall a\in A,}$

der daraus resultierende Quotientenraum

${\displaystyle X\cup _{f}Y:=(X\sqcup Y)/\sim }$

nennt man Adjunktionsraum. Die Funktion ${\displaystyle f}$ nennt man anhängende oder anklebende Funktion. Man sagt, dass man ${\displaystyle Y}$ an ${\displaystyle X}$ entlang ${\displaystyle f}$ anklebt (resp. anhängt).^[1]

• Die Äquivalenzrelation sagt, dass man ein ${\displaystyle x\in X}$ mit allen Punkten ${\displaystyle f^{-1}(x)\subseteq A}$ identifiziert (falls welche getroffen werden).
• Falls ${\displaystyle A=\emptyset }$, dann ist ${\displaystyle X\cup _{f}Y=X\sqcup Y}$.

• Sei ${\displaystyle x_{0}\in X}$ und ${\displaystyle y_{0}\in Y}$. Wir werden beide Mengen nun an diesen Punkten verkleben, das heißt sei ${\displaystyle A=\{y_{0}\}\subseteq Y}$ und ${\displaystyle f\colon A\to X,\;f(y_{0})=x_{0}}$, dann haben wir ${\displaystyle y_{0}\sim x_{0}}$. Der Adjunktionsraum ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$ ist das Wedge-Produkt ${\displaystyle X\vee Y}$.
• Sei ${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1},\;x\to x^{2}}$, dann haben wir ${\displaystyle x\sim -x,\forall x\in S_{1}}$ und ${\displaystyle D^{2}\cup _{f}S^{1}}$ ist die reelle projektive Gerade ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$.
• Sei ${\displaystyle X=D^{2}}$ und ${\displaystyle Y=D^{2}}$. Sei ${\displaystyle A=\partial Y}$ und ${\displaystyle f(x)=x}$, dann ist ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$ gerade die ${\displaystyle 2}$-Sphäre ${\displaystyle S^{2}}$.
• Seien ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ zwei nicht-leere ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeiten mit Rand und ${\displaystyle f:\partial N\to \partial M}$ ein Homöomorphismus zwischen den Rändern. Dann ist der Adjunktionsraum ${\displaystyle M\cup _{f}N}$ entstanden durch das Ankleben von ${\displaystyle N}$ an ${\displaystyle M}$ entlang ihrer Ränder.
• Sei ${\displaystyle X=[0,1]\times [0,1]}$ das Einheitsquadrat. Verklebe nun die Seiten ${\displaystyle A=\{0\}\times [0,1]}$ und ${\displaystyle B=\{1\}\times [0,1]}$ durch die Äquivalenzrelation ${\displaystyle (0,s)\sim (1,s),\;\forall s\in [0,1]}$. Dann ist der Adjunktionsraum der Zylinder ${\displaystyle S^{1}\times [0,1]}$.

Sei ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$ ein Adjunktionsraum und ${\displaystyle q\colon X\sqcup Y\to X\cup _{f}Y}$ die Quotientenabbildung.

1. Dann ist die Restriktion von ${\displaystyle q|_{X}}$ eine topologische Einbettung und ${\displaystyle q(X)}$ ein abgeschlossener Unterraum von ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$.
2. Dann ist die Restriktion von ${\displaystyle q|_{Y\setminus A}}$ eine topologische Einbettung und ${\displaystyle q(Y\setminus A)}$ ein offener Unterraum von ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$.
3. ${\displaystyle X\cup _{f}Y=q(X)\sqcup q(Y\setminus A)}$.^[1]

Seien ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ zwei nicht-leere ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeiten mit Rand und ${\displaystyle f:\partial N\to \partial M}$ ein Homöomorphismus zwischen den Rändern. Dann ist der Adjunktionsraum ${\displaystyle M\cup _{f}N}$ eine ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeiten ohne Rand. Weiter existieren zwei topologische Einbettungen ${\displaystyle e\colon M\to M\cup _{f}N}$ und ${\displaystyle h\colon N\to M\cup _{f}N}$, deren Bilder abgeschlossene Teilmengen von ${\displaystyle M\cup _{f}N}$ sind und für die gilt

• ${\displaystyle e(M)\cup h(N)=M\cup _{f}N}$,
• ${\displaystyle e(M)\cap h(N)=e(\partial M)=h(\partial N)}$.^[2]

• Tammo tom Dieck: Algebraic Topology. Hrsg.: EMS Press. ISBN 978-3-03719-048-7, doi:10.4171/048. 
• Tej Bahadur Singh: Introduction to Topology. Hrsg.: Springer Nature Singapore. 2019, S. 156. 
• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Hrsg.: Springer. 2. Auflage. 

1. ↑ ^{a b} John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Hrsg.: Springer. 2. Auflage. S. 73–74. 
2. ↑ John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Hrsg.: Springer. 2. Auflage. S. 74–75.