635318657
635318657
Darstellung
Dual	10 0101 1101 1110 0011 0001 1000 0001
Oktal	45 6743 0601
Duodezimal	1 5892 5315
Hexadezimal	25DE 3181
Mathematische Eigenschaften
Vorzeichen	positiv
Parität	ungerade
Faktorisierung	${\displaystyle 41\cdot 113\cdot 241\cdot 569}$
Teiler	1, 41, 113, 241, 569, 4633, 9881, 23329, 27233, 64297, 137129, 1116553, 2636177, 5622289, 15495577, 635318657

Die Zahl ${\displaystyle 635318657}$ (in Worten: sechshundertfünfunddreißig Millionen dreihundertachtzehntausendsechshundertsiebenundfünfzig) ist die kleinste natürliche Zahl, die mindestens zwei verschiedene Darstellungen als Summe zweier Biquadrate ${\displaystyle >0}$ besitzt. Es ist nämlich ${\displaystyle 635318657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}}$. Dass diese Gleichungen korrekt sind, hat schon Leonhard Euler schon im Jahre 1778 gezeigt, während die Minimalität der Zahl im Jahre 1957 von John Leech (1926–1992) nachgewiesen wurde.^[1.1][2.1]

Nach der Darstellung von David Wells im Lexikon der Zahlen geht das Problem, natürliche Zahl zu finden, welche auf zwei verschiedene Weisen als Summe zweier vierter Potenzen darstellbar seien, auf eine Aufgabenstellung Eulers aus dem Jahre 1772 zurück.^[2.2]

Die Minimallösungen zu dem entsprechenden Problem für zweigliedrige Potenzsummen mit kleineren Exponenten sind die folgenden:^[2.3]

${\displaystyle 4=1^{1}+3^{1}=2^{1}+2^{1}}$

${\displaystyle 50=1^{2}+7^{2}=5^{2}+5^{2}}$^{[E 1]}

${\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}}$.^{[E 2]}

Unbekannt ist, ob es die entsprechende Minimallösung für fünfte Potenzen gibt. Unklar ist sogar, ob überhaupt natürliche Zahlen existieren, die sich auf mehrfache Weise als Summe zweier natürlichzahliger fünfter Potenzen darstellen lassen.^[3]

Bekannt ist indes, dass das letztgenannte Problem für dreigliedrige Summen fünfter Potenzen zumindest eine Lösung hat. Es gilt nämlich:

${\displaystyle 1375298099=24^{5}+28^{5}+67^{5}=3^{5}+54^{5}+62^{5}}$.^{[2.4][E 3]}

Überdies kennt man sogar die entsprechende Minimallösung für dreigliedrige Summen sechster Potenzen. Hier ist nämlich

${\displaystyle 160426514=3^{6}+19^{6}+22^{6}=10^{6}+15^{6}+23^{6}}$

die kleinste natürliche Zahl dieser Art.^[2.5][4][5]

G. H. Hardy erwähnte in seiner bekannten Anekdote über die Zahl ${\displaystyle 1729}$, dass Srinivasa Ramanujan diese sofort als kleinste natürliche Zahl mit mindestens zwei verschiedenen Darstellungen als Summe zweier positiver Kuben identifiziert hat. Ramanujan habe indes die entsprechende kleinste Zahl für Biquadrate, also die Zahl ${\displaystyle 635318657}$, nicht nennen können, sondern nur gesagt, dass die fragliche Zahl sehr groß sein müsse.^[2.6]

• Ronald Alter: Computations and generalizations on a remark of Ramanujan. Analytic Number Theory (Proc. Conf., Temple Univ., Philadelphia, 1980, ed. M. I. Knopp) (= Lecture Notes in Mathematics. Band 899). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1981, S. 182–196 (zbMATH Open). 
• John Leech: Some solutions of diophantine equations. In: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 53, 1957, S. 778–780 (zbMATH Open). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. Edited and with a preface by Andrzej Schinzel (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 
• David Wells: Das Lexikon der Zahlen: Nachrichten von √17 bis 3↑↑↑3. Aus dem Englischen von Dr. Klaus Volkert (= Fischer-Logo). Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main 1990, DNB 910647275 (zbMATH Open). 

1. ↑ Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988. 
   1. ↑ S. 55, 425
2. ↑ David Wells: Das Lexikon der Zahlen: Nachrichten von √17 bis 3↑↑↑3. Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main 1990. 
   1. ↑ S. 224&138 i.V.m. Folge A003824 in OEIS & Eric W. Weisstein: Diophantine Equation--4th Powers. In: MathWorld (englisch).
   2. ↑ S. 138.
   3. ↑ S. 136, 189 i.V.m. Folge A016078 in OEIS
   4. ↑ S. 226.
   5. ↑ S. 223.
   6. ↑ S. 189.
3. ↑ Eric W. Weisstein: Diophantine Equation--5th Powers. In: MathWorld (englisch).
4. ↑ Folge A116643 in OEIS
5. ↑ Eric W. Weisstein: Diophantine Equation--6th Powers. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Erwähnenswert ist hier, dass die Frage nach der dreifachen Darstellung von natürlichen Zahlen als zweigliedrige Summen von Quadratzahlen ebenfalls eine Minimallösung hat. Es ist –vgl. David Wells: Das Lexikon der Zahlen, Fischer Taschenbuch Verlag, S. 171.– die Zahl ${\displaystyle 325=1^{2}+18^{2}=6^{2}+17^{2}=10^{2}+15^{2}}$.
2. ↑ 1729 ist die bekannte Hardy-Ramanujan-Zahl.
3. ↑ David Wells verweist hinsichtlich dieser Identitäten auf R. Alter.