Han var søn af Gerson Melchior og hustru Birgitte f. Israel og bror til Moritz G. Melchior og Israel B. Melchior. Moses Melchior lærte hos Jacob Holm og Sønner og indtrådte i familiefirmaet i 1850, efter at faderen og en storebror var døde i 1845 og 1843, og Moritz Melchior siden alene havde ledet firmaet. Da Moritz døde i 1884, fortsatte Moses sammen med Moritz' søn Carl Henriques Melchior som ledere af firmaet.
Privat var Moses Melchior sammen med resten af Melchior-familien nært knyttet til kunstnere som H.C. Andersen, og han var blandt andet med til at fejre H.C. Andersens 65-års fødselsdag.[1]
