Djurhuus blev uddannet lærer i 1932 og fik derefter arbejde i Skálabotnur og Innan Glyvur, indtil han i 1934 blev ansat ved en skole i Klaksvík, hvor han var til 1976. Fra 1936-1946 var han chefredaktør for avisen Norðlýsið.
Han var kommunalbestyrelsesmedlem i Klaksvíks byråd 1946–1951, heraf borgmester 1950–1951. Han blev valgt til Lagtinget for første gang i 1946 og var formand for Lagtinget fra 1950 til 1951. Samme år blev han valgt til leder af Fólkaflokkurin og var frem til 1957minister uden portefølje under lagmand Kristian Djurhuus. I løbet af denne periode pågik Klaksvíkstriden, og Hákun Djurhuus fandt en hjemmelavet bombe i sit hjem. Den var blevet installeret, da ingen var hjemme i huset, men var fejlkonstrueret og gik derfor aldrig af. I 1957 blev han medlem af Folketinget som Thorstein Petersens stedfortræder da Thorstein Petersen mistede sit mandat,[1] og sad i første omgang til 1960 og var atter medlem fra 1968 til 1973.
