Subašić spillede som ungdomsspiller og i starten af sin seniorkarriere hos NK Zadar i sin fødeby. I 2008 skiftede han til storklubben Hajduk Split, først på et lejemål og senere på en permanent kontrakt. I 2012 skiftede han til den daværende Ligue 2-klub AS Monaco.[1] Her var han med til at føre klubben til oprykning til Ligue 1.