Sinová věta popisuje v trigonometrii konstantní poměr délek stran a hodnot sinu jejich protilehlých vnitřních úhlů v obecném trojúhelníku. Podle sinové věty pro každý rovinný s vnitřními úhly α, β, γ, stranami a, b, c a poloměrem rkružnice opsané (viz obrázky vpravo) platí:
Sinová věta je používána při triangulaci, kde umožňuje dopočítat délky zbývajících stran trojúhelníku, ve kterém je známá délka jedné strany a dvou úhlů. Alternativní větou pro obecný trojúhelník je kosinová věta.
Ibn Mu'adh al-Džajjani' napsal v 11. století knihu Kniha neznámých úhlů koule, která obsahuje obecnou sinovou větu.[2] Sinovou větu v rovině představil ve 13.století perský učenec Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī. Ve svém díle Risālatun fī al-šakl al-qiṭā' wa al-nisbati al-mu'allafah, uvedl sinovou větu pro rovinné i sférické trojúhelníky a poskytl pro ni důkaz.[3][4]
Historik Glen Van Brummelen uvedl, že v Evropě základy pro sinovou větu v pravoúhlém trojúhelníku položil německý matematik Regiomontanus v 15. století ve svazku Kniha IV, na čemž založil řešení v obecných trojúhelnících.[5]
Příklady
Následující příklady ukazují, jak využít sinovou větu při výpočtech v obecném trojúhelníku (nemusí tedy být pravoúhlý jako v případě použití Pythagorovy věty). Sinovou větou lze řešit příklady, kde jsou zadány alespoň tři údaje: strana a dva úhly (výsledkem je jedno řešení) nebo dvě strany a jiný úhel než jimi sevřený (výsledkem mohou být dvě řešení). Tyto výpočty jsou používány při tzv. triangulaci. Pro jiná zadání je možné použít kosinovou větu.
Příklad 1
Zadání: V obecném trojúhelníku je strana b = 10, úhel α = 30° a úhel β = 45°. Jaká je velikost strany a?
Řešení: Podle sinové věty platí, že:
Do rovnice dosadíme známé hodnoty:
Z rovnice vyjádříme a na levé straně rovnice:
Výsledek je:
Příklad 2
Zadání: V obecném trojúhelníku je strana b = 18, strana c = 25, úhel β = 30°. Jaká je velikost úhlu γ?
Řešení: Podle sinové věty platí, že:
Do rovnice dosadíme známé hodnoty:
Rovnice vynásobíme oběma jmenovateli:
Upravíme:
Vyjádříme α:
Výsledek je:
nebo
Důkaz věty
Pomocí definice funkce sinus
Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky vc. Pak za použití funkce sinus a stran CP, AC a úhlu α (tj. úhel CAP) platí:[6][7]
A zároveň platí:
Z předchozích dvou rovnic tedy platí:
Což lze zapsat také jako:
Ostatní rovnosti uváděné v sinové větě lze získat cyklickou záměnou stran.
Pomocí plochy
Plochu S libovolného trojúhelníku lze zapsat jako součin poloviny jeho základny krát výška trojúhelníku. Vybereme-li jednu stranu trojúhelníku jako základnu, výška trojúhelníku vzhledem k této základně se vypočítá jako délka další strany krát sinus úhlu mezi vybranou stranou a základnou. V závislosti na výběru základny lze tedy obsah trojúhelníku zapsat jako kterýkoli navzájem si rovných výrazů:
Vynásobením předchozí rovnosti výrazem dostaneme:
, což lze zapsat i jako převrácené hodnoty:
Souvislosti
Zjednodušení sinové věty, aplikované na pravoúhlý trojúhelník je:
z čehož plyne:
Sinovou větu lze ovšem zformulovat také takto:
, či takto: , nebo takto: ,
s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“
Věta se používá zejména v následujících dvou případech:
Jsou dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a mají se dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
Jsou známy délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a je třeba zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.
Průměr kružnice opsané trojúhelníku
Poměr vyjádřený sinovou větou je roven průměru kružnice opsané tomuto trojúhelníku:
Z toho lze odvodit poloměr kružnice opsané:
Odkazy
Reference
↑Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in SELIN, Helaine; D'AMBROSIO, Ubiratan. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. [s.l.]: Springer, 2000. ISBN1-4020-0260-2.Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
↑O'CONNOR, John J.; ROBERTSON, Edmund F. Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. MacTutor History of Mathematics archive [online]. 1999-11 [cit. 2023-03-13]. Dostupné online. (anglicky)
↑BERGGREN, J. Lennart. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. [s.l.]: Princeton University Press, 2007. ISBN978-0-691-11485-9. Kapitola Mathematics in Medieval Islam, s. 518.Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
↑LIBRARY OF CONGRESS. A Treatise on the Sector-Figure and the Composition of Ratios. Online. Library of Congress. 2010. Dostupné z: https://www.loc.gov/item/2021667386/. [cit. 2024-02-13].