Rolleova věta

Geometrický význam Rolleovy věty.

Rolleova věta (též Rollova věta) je matematická věta diferenciálního počtu. Je pojmenována po francouzském matematikovi Michelu Rolleovi, který větu formuloval v roce 1691.

Věta

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu existuje derivace a nechť . Pak existuje bod c v otevřeném intervalu , pro nějž platí

.

Důkaz

Důkaz rozdělíme do dvou částí:

  1. Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace a věta je dokázána.
  2. Nechť funkce f není konstantní. Jelikož a funkce není konstantní, musí existovat takové, že nebo . Předpokládejme, že .

Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje takové, že , tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce, .

Analogické tvrzení platí i pro minimum.

Historie

Rolleovu větu znal už ve dvanáctém století indický matematik Bháskara II. První formální důkaz podal francouzský matematik Michel Rolle v roce 1691. Název Rolleova věta byl poprvé použit v devatenáctém století.

Příklady

Půlkruh s poloměrem r

První příklad

Buď poloměr a mějme funkci

.

Jejím grafem je horní půlkruh se středem v počátku. Tato funkce je spojitá na uzavřeném intervalu a má derivaci na otevřeném intervalu , ale ne v krajních bodech. Předpoklady Rolleovy věty jsou splněny, protože . A skutečně, bod s nulovou derivací existuje.

Graf funkce absolutní hodnoty

Druhý příklad

Pokud funkce nemá ve všech vnitřních bodech intervalu derivaci, nemusí závěr Rolleovy věty platit. Mějme funkci absolutní hodnoty:

.

Ačkoli , neexistuje žádný bod takový, že . Důvodem je právě to, že v bodě neexistuje derivace funkce .

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rolle's theorem na anglické Wikipedii.

Související články

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu Rolleova věta na Wikimedia Commons

Read other articles:

This is a list of Asian countries and dependencies by population in Asia, total projected population from the United Nations[1] and the latest official figure. Map Asia population by country[1]   China (29.9%)  India (29.9%)  Indonesia (5.7%)  Pakistan (5.0%)  Bangladesh (3.6%)  Japan (2.6%)  Philippines (2.5%) Asian countries by population, 2023[1] Table Country / dependency %Asia Asiapopulation �...

 

 SosiologiDiagram Analisis Jejaring Sosial Portal Teori dan Sejarah Positivisme · Antipositivisme Fungsionalisme · Teori konflik Strukturalisme · Interaksi simbolik · Jarak menengah · Matematis Teori kritis · Sosialisasi Struktur dan agen Metode penelitian Kuantitatif · Kualitatif Komputasional · Etnografi Topik dan Cabang agama · budaya · demografi ekonomi · hukum · ilmu · industri internet · jejaring sosial · jenis kelamin kejahatan · kelas · keluarga kesehatan · kota...

 

The Divine Wings of TragedyAlbum studio karya Symphony XDirilis1997 (1997)[1]DirekamTrax East Recording Studio, South River, New Jersey; Symphony X DungeonGenreProgressive metal, neo-classical metalDurasi65:23LabelZeroProduserSteve Evetts, Eric RachelKronologi Symphony X The Damnation Game(1995)The Damnation Game1995 The Divine Wings of Tragedy(1997) Twilight in Olympus(1998)Twilight in Olympus1998 The Divine Wings of Tragedy adalah album studio ketiga oleh band progressive m...

Protected area in Svalbard, Norway Nordre Isfjorden National ParkIUCN category II (national park)LocationSpitsbergen, Svalbard, NorwayNearest cityLongyearbyenCoordinates78°24′N 14°23′E / 78.400°N 14.383°E / 78.400; 14.383Area2,954 km2 (2,050 km2 land, 904 km2 sea)Established2003Governing bodyDirectorate for Nature Management Nordre Isfjorden National Park (Norwegian: Nordre Isfjorden nasjonalpark) lies on Spitsbergen Island in the Svalb...

 

Ceremonial axe used by Incas and other tribes This article is about the sharp tools. For other uses, see Tumi (disambiguation). Early/Middle Sican Tumi knife, 750-1100 AD, held at the Birmingham Museum of Art, it portrays the Sican Lord who abruptly disappeared from Sican art in the Late Sican phase (1100-1375) Sican Culture Ceremonial Knife (Tumi) from the Metropolitan Museum of Art, New York City Sican-style Tumi, 750-1100 AD, from the north coast of Peru, gold with turquoise, exhibited in ...

 

American baseball player Baseball player Ray FrenchShortstopBorn: (1895-01-09)January 9, 1895Alameda, CaliforniaDied: April 3, 1978(1978-04-03) (aged 83)Alameda, CaliforniaBatted: RightThrew: RightMLB debutSeptember 17, 1920, for the New York YankeesLast MLB appearanceJuly 10, 1924, for the Chicago White SoxMLB statisticsBatting average.193Home runs0Runs batted in19 Teams New York Yankees (1920) Brooklyn Robins (1923) Chicago White Sox (1924) Raymond Edward ...

Not to be confused with Chungthang. Village in Ladakh, IndiaChumathangVillageChumathang gompaChumathangLocation in Ladakh, IndiaShow map of LadakhChumathangChumathang (India)Show map of IndiaCoordinates: 33°22′N 78°20′E / 33.36°N 78.34°E / 33.36; 78.34CountryIndiaUnion TerritoryLadakhDistrictLehTehsilNyomaElevation3,950 m (12,960 ft)Population (2011) • Total641Languages • OfficialHindi, English • SpokenLaddakh,...

 

Lucas HedgesLucas Hedges tahun 2017Lahir12 Desember 1996 (umur 27)Brooklyn Heights, Kota New York, Amerika SerikatAlmamaterUniversity of North Carolina School of the ArtsPekerjaanAktorTahun aktif2007–sekarangOrang tuaPeter Hedges Susan Bruce (née Titman) Lucas Hedges (lahir 12 Desember 1996) adalah aktor asal Amerika Serikat.[1][2] Putra dari penulis-sutradara, Peter Hedges, dia belajar teater di University of North Carolina School of the Arts. Hedges memulai kar...

 

Millers Falls CompanyIndustryManufacturingFounded1868HeadquartersMillers Falls, Massachusetts; Alpha, New JerseyKey peopleLevi J. Gunn, Charles H. Amidon, Henry L. PrattProductsHand tools Millers Falls Company in 1910 Millers Falls Co. is a tool manufacturing company originally based in Millers Falls, Massachusetts. It was established in Greenfield, Massachusetts in 1868 as Gunn & Amidon[1] by Levi J. Gunn and Charles H. Amidon.[2] Gunn and Amidon, along with a third partn...

Військово-музичне управління Збройних сил України Тип військове формуванняЗасновано 1992Країна  Україна Емблема управління Військово-музичне управління Збройних сил України — структурний підрозділ Генерального штабу Збройних сил України призначений для планува...

 

هذه المقالة بحاجة لصندوق معلومات. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة صندوق معلومات مخصص إليها. جبن عربي بلدي صناعة أردنية الجبن البلدي جبن لين أبيض منتشر في الشرق الأوسط. يحتوي على نكهة خفيفة غنية.[1] طالع أيضا فيتا مصادر ^ Baladi Cheese Phoenicia.com. مؤرشف من الأصل في 2013-01-31. اطلع...

 

Category of learning situation According to the Octagon Model by Decius et al. (2019),[1] informal learning includes eight components (shown on the outside) that can be assigned to four factors (shown on the inside). Informal learning is characterized by a low degree of planning and organizing in terms of the learning context, learning support, learning time, and learning objectives.[2] It differs from formal learning, non-formal learning, and self-regulated learning, because ...

Rubber manufactured with a foaming agent Not to be confused with Foam latex. Foam rubber yoga mat Foam rubber (also known as cellular rubber, sponge rubber, or expanded rubber) refers to rubber that has been manufactured with a foaming agent to create an air-filled matrix structure. Commercial foam rubbers are generally made of synthetic rubber, natural latex or polyurethane. Latex foam rubber, used in mattresses, is well known for its endurance. Polyurethane is a thermosetting polymer that c...

 

Siberia beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Siberia (disambiguasi).Siberia Rusia: Сибирь (Sibir')Geografi wilayah       Distrik Federal Siberia        Geografi Siberia Rusia        Wilayah Asia Utara, NegaraRusiaWilayahAsia Utara, EurasiaPartaiDataran Siberia BaratDataran Tinggi Siberia Tengahlainnya... 'Luas • Total13.100.000 km2 (5,100,000 sq...

 

هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة وصلات إلى المقالات المتعلقة بها الموجودة في النص الحالي. (يوليو 2019) منتخب صربيا لكرة الصالات بلد الرياضة صربيا  رمز الفيفا SRB  الموقع الرسمي ا�...

Cappella della Madonna di LoretoStato Italia RegioneToscana LocalitàSan Miniato Indirizzovia vittime del Duomo, 8 ipogeo del Palazzo comunale Coordinate43°40′46.78″N 10°51′09.83″E43°40′46.78″N, 10°51′09.83″E Religionecattolica TitolareMadonna di Loreto Diocesi San Miniato Inizio costruzione1285 Completamento1295 Sito webwww.comune.san-miniato.pi.it/ospiti/smsm/home.htm Modifica dati su Wikidata · Manuale L'altare Affreschi La cappella della Madonna di Loreto (c...

 

Dit is een lijst van Duitstalige ministers van Huisvesting in de regering van de Duitstalige Gemeenschap. Lijst Nr. Minister Partij Begin Einde Regering(en) 1 Antonios Antoniadis(1985) SP 17 juni 2019 1 juli 2024 Paasch II 2 Lydia Klinkenberg(1981) ProDG 1 juli 2024 heden Paasch III Zie ook Lijst van Belgische ministers van Huisvesting Lijst van Brusselse ministers van Huisvesting Lijst van Vlaamse ministers van Huisvesting Lijst van Waalse ministers van Huisvesting

 

Conception of the universe in the religion of Mandaeism Part of a series onMandaeism Prophets Adam Seth Noah Shem John the Baptist Names for adherents Mandaeans Sabians Nasoraeans Gnostics Scriptures Ginza Rabba Right Ginza Left Ginza Mandaean Book of John Qulasta (list) Haran Gawaita The Wedding of the Great Shishlam The Baptism of Hibil Ziwa Diwan Abatur The Thousand and Twelve Questions Scroll of Exalted Kingship The Coronation of the Great Shishlam Alma Rišaia Rba Alma Rišaia Zuṭa Zih...

Convex shape with one stable and one unstable position This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: Gömböc – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2023) (Learn how and when to remove this message) A gömböc returning to its stable equilibrium position A gömböc in the stable equilibrium position 4.5 m (15 ft) gömböc st...

 

置賜野川 長井市成田から眺める置賜野川水系 一級水系 最上川種別 一級河川延長 22.65 km流域面積 約130 km2水源 平岩山(長井市)河口・合流先 最上川(長井市)流路 山形県長井市流域 山形県長井市テンプレートを表示 置賜野川(おきたまのがわ)は、山形県長井市を流れる一級河川。最上川の支流である。 概要 最上川水系の主要な支流のひとつである。延長は22.65km ...