Přímka

Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar.

Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku (pojem křivka v matematice zahrnuje i „rovné křivky“), tedy křivku s nekonečně velkým poloměrem zakřivení. V euklidovské geometrii pro každé dva body existuje právě jedna přímka, která oběma prochází. Tato přímka obsahuje nejkratší spojnici mezi dotyčnými body, úsečku z jednoho bodu do druhého.

Z fyzikálního hlediska je přímka trajektorie fotonu neovlivněného gravitací.

Speciální případ přímky je osa.

Znázornění a značení

Přímka se znázorňuje rovnou čarou, označuje se malým písmenem, např. . Přímka procházející dvěma body bývá také značena .

Znázornění:

Algebraický zápis

Přímku v rovině lze algebraicky popsat pomocí lineárních rovnic nebo lineárních funkcí.

Tento intuitivní koncept přímky lze formalizovat několika způsoby. Jestliže je geometrie postavena axiomaticky (jako v Eukleidových Základech a později ve Foundations of Geometry Davida Hilberta), potom přímky nejsou vůbec definovány, nýbrž axiomaticky charakterizovány svými vlastnostmi. „Vše, co splňuje axiomy pro přímku, je přímka.“ Zatímco Eukleidés definoval přímku jako „délku bez šířky“, ve svých pozdějších vývodech tuto mlhavou definici nepoužíval.

eukleidovském prostoru Rn (a analogicky ve všech ostatních vektorových prostorech) definujeme přímku L jako podmnožinu ve tvaru

kde a a b jsou vektoryRn a b je nenulové. Vektor b udává směr přímky a a je bod na přímce. Tutéž přímku lze definovat pomocí různých kombinací a a b.

Rovinná přímka

R2 je každá přímka L popsaná lineární rovnicí, která může být zadána v různých tvarech.

Směrnicová rovnice přímky

Ke směrnicové rovnici přímky.

Směrnicová rovnice přímky má tvar

,

kde je tzv. směrnice přímky, přičemž je orientovaný úhel s vrcholem v průsečíku přímky a první souřadnicové osy, jehož rameny jsou (kladně orientovaná) první osa souřadnicové soustavy a přímka, a je tzv. úsek (vytnutý přímkou) na ose , což je druhá souřadnice průsečíku přímky s osou .

Pro představuje rovnice přímky rostoucí funkci, pro jde o funkci klesající. Pro je přímka rovnoběžná s osou . Je-li , pak přímka prochází počátkem .

Přímku rovnoběžnou s osou nelze směrnicovou rovnicí vyjádřit.

Úseková rovnice přímky

K úsekové rovnici přímky.

Úseková rovnice přímky má tvar

,

kde je úsek (vytnutý přímkou) na ose a je úsek (vytnutý přímkou) na ose .

Přímku rovnoběžnou s osou nebo nelze úsekovou rovnicí vyjádřit.

Normálová rovnice přímky

K normálové rovnici přímky.

Normálovou rovnici přímky lze zapsat ve tvaru

,

kde představuje vzdálenost počátku soustavy souřadnic od přímky a je velikost orientovaného úhlu, jehož rameno je první kladná poloosa souřadné soustavy a druhé rameno je polopřímka s počátkem v vedená kolmo k přímce.

Členy a představují složky jednotkového vektoru kolmého k přímce.

Obecná rovnice přímky

Obecná rovnice přímky v rovině je speciálním případem obecné rovnice nadroviny a má tvar

,

kde jsou konstanty, přičemž nebo .

Pro je přímka rovnoběžná s osou , pro je přímka rovnoběžná s osou . Pro prochází přímka počátkem.

Porovnáním obecné a normálové rovnice lze určit význam konstant . Konstanty určují vektor , který je kolmý k přímce. Parametr pak souvisí se vzdáleností přímky od počátku souřadné soustavy.

Obecnou rovnici přímky lze převést na rovnici směrnicovou, pokud zavedeme , pro . Zavedeme-li , pro , pak můžeme obecnou rovnici převést na úsekový tvar. Převedením obecné rovnice přímky do normálového tvaru získáme normálovou rovnici přímky ve tvaru

Důležité vlastnosti takto definovaných přímek jsou jejich sklon, průsečík s osou x a průsečík s osou y. Excentricita přímky je nekonečno.

Parametrické vyjádření přímky

Parametrické vyjádření přímky je definováno vztahem: a v rovině je tedy dáno rovnicemi

kde je libovolný bod přímky, jsou konstanty určující směrnici přímky, tedy vektor je směrovým vektorem přímky a je proměnný parametr. Alespoň jedna z konstant musí být nenulová.

Vektorová rovnice přímky

Vektorová rovnice přímky má tvar

kde je rádiusvektor procházející všemi body přímky, je rádiusvektor jednoho z bodů přímky, je vektor určující směr přímky a je proměnný parametr.

Vektorový zápis tedy představuje přehlednější zápis parametrického tvaru rovnice přímky.

Polární rovnice přímky

V polárních souřadnicích lze přímku vyjádřit jako

,

kde je vzdálenost přímky od počátku a je velikost orientovaného úhlu s vrcholem v počátku, jehož první rameno tvoří polární osa a druhé rameno polopřímka kolmá k přímce s počátkem v O.

Rovnice přímky určené bodem

Rovnice přímky se směrnicí procházející bodem je

Rovnice přímky procházející dvěma danými body a , kde , má tvar

neboli

Předchozí rovnice bývá také vyjadřována ve formě determinantu

Tuto rovnici lze využít jako podmínku k určení, zda tři body leží na jedné přímce. Tyto body leží na jedné přímce, je-li splněna podmínka

Prostorová přímka

Přímkou v prostoru se nazývá množina bodů prostoru, které vyhovují rovnici přímky. Rovnici přímky v prostoru lze vyjádřit různými způsoby.

Obecná rovnice přímky

R3 lze přímku L definovat jako průsečík dvou rovin, pomocí soustavy jejich lineárních rovnic:

(definici je nutné rozšířit o podmínky pro koeficienty , které zaručí, že roviny budou různoběžné).

Přímka v prostoru je tedy řešením soustavy rovnic

Ve speciálním případě vyjádříme přímku jako průsečík dvou rovin, z nichž každá je kolmá k některé souřadnicové rovině, např. pro roviny kolmé k a dostaneme

Parametrické rovnice přímky

Parametrické rovnice přímky v prostoru mají tvar

kde je libovolný bod, kterým přímka prochází, jsou konstanty určující směrnici přímky a je parametr.

Konstanty mohou být vyjádřeny prostřednictvím směrových úhlů jako

Směrové úhly přitom splňují podmínku

Rovnice přímky určené bodem

Rovnici přímky procházející body lze zapsat jako

Rovnici přímky procházející bodem se směrovými úhly lze zapsat jako

Pokud místo směrových úhlů určíme směrnici přímky parametry , pak lze předchozí vztah přepsat jako

Přímka ve vícerozměrném prostoru

Přímku lze zavést také v n-rozměrném prostoru.

Parametrické vyjádření

Přímku v Rn lze také vyjádřit parametricky: přímka procházející bodem se směrovým vektorem je množina bodů , pro které existuje skalár k takový, že

Vektorový tvar

Místo předchozího parametrického vyjádření lze použít vektorový zápis

Vzájemná poloha bodu a přímky

Související informace naleznete také v článku Vzájemná poloha bodu a přímky.

Tři nebo více bodů, které leží na téže přímce, se nazývají kolineární.

Leží-li tři (různé) body na jedné přímce, pak vždy leží právě jeden z nich mezi ostatními dvěma. Leží-li bod mezi body a , pak bod označíme jako vnitřní bod úsečky .

Bod ležící na přímce ji dělí na dvě polopřímky. Je-li bod vnitřním bodem jedné z polopřímek, pak pro tuto polopřímku užíváme značení . Opačnou polopřímku k polopřímce značíme .

Vzájemná poloha přímek

Související informace naleznete také v článku Vzájemná poloha dvou přímek.

Dvě různé přímky ležící v téže rovině mohou být buď rovnoběžné a nemít žádný společný bod (v eukleidovském prostoru se protínají v nekonečnu), nebo různoběžné a protnout se v právě jednom bodě, průsečíku. Dvě roviny se protínají v nejvýše v jedné přímce, průsečnici. Ve vícerozměrných prostorech ale nemusí ani být rovnoběžné, ani se protínat, a říká se jim mimoběžky.

Pokud jsou si obě přímky rovny, pak říkáme, že jde o přímky splývající (totožné).

Přímku různoběžnou s rovnoběžkami označujeme jako příčku rovnoběžek .

Průnik dvou polopřímek a se nazývá úsečkou a značí .

Některé důležité přímky

Eulerova přímka (červená) a osy stran (symetrály, zelené), těžnice (oranžové) a výšky (modré) v trojúhelníku

Odkazy

Literatura

  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 8-9
  • Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 12

Související články

Externí odkazy

Read other articles:

Gordon Banks OBE Banks pada tahun 2007Informasi pribadiNama lengkap Gordon Banks[1]Tanggal lahir (1937-12-30)30 Desember 1937Tempat lahir Abbeydale, Sheffield, InggrisTanggal meninggal 12 Februari 2019(2019-02-12) (umur 81)Tempat meninggal Stoke-on-Trent, InggrisTinggi 6 ft 1 in (1,85 m)Posisi bermain Penjaga gawangKarier junior1953 Millspaugh1953 Rawmarsh Welfare1953 Millspaugh1953–1958 ChesterfieldKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)1958–1959 Chesterfield 23...

 

Arco di TraianoCiviltàRomana UtilizzoArco trionfale EpocaII secolo d.C. LocalizzazioneStato Italia ComuneAncona AmministrazioneVisitabileSi Mappa di localizzazione Modifica dati su Wikidata · ManualeCoordinate: 43°37′31″N 13°30′23.4″E / 43.625278°N 13.5065°E43.625278; 13.5065 L'arco di Traiano di Ancona è un arco trionfale attribuito ad Apollodoro di Damasco, fatto costruire nel II secolo d.C. dal Senato romano per esprimere la propria riconoscenza...

 

Chemical compound 5α-DihydrolevonorgestrelClinical dataOther names5α-Dihydrolevonorgestrel; 5α-DHLNG; 5α-LNGIdentifiers IUPAC name (5S,8R,9R,10S,13S,14S,17R)-13-Ethyl-17-ethynyl-17-hydroxy-1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,15,16-tetradecahydrocyclopenta[a]phenanthren-3-one CAS Number78088-19-4PubChem CID9995794ChemSpider8171375UNII7Z4S6960I5Chemical and physical dataFormulaC21H30O2Molar mass314.469 g·mol−13D model (JSmol)Interactive image SMILES CC[C@]12CC[C@H]3[C@H]([C@@H]1CC[C@]2(C#C)...

Sumber referensi dari artikel ini belum dipastikan dan mungkin isinya tidak benar. Mohon periksa, kembangkan artikel ini, dan tambahkan sumber yang benar pada bagian yang diperlukan. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Waringin Sari TimurPekonNegara IndonesiaProvinsiLampungKabupatenPringsewuKecamatanAdiluwihLuas... km²Jumlah penduduk... jiwaKepadatan... jiwa/km² Untuk kegunaan lain, lihat Waringin Sari (disambiguasi). Waringin Sari Timur adalah pekon yan...

 

Eric DaneDane at the red carpet of the White House Correspondents' Association dinner, April 2008LahirEric William DanePekerjaanAktorTahun aktif1991 – sekarangSuami/istriRebecca Gayheart (2004-sekarang) Eric William Dane (lahir 9 November 1972) adalah aktor asal Amerika Serikat. Ia berperan dalam film Saved by the Bell, Marley & Me dan Valentine's Day. Filmografi Tahun Film Peran Catatan 1991 Saved by the Bell Tad Pogue TV episode (The Game) - uncredited 1993 The Wonder Years Bret...

 

NGC 72NGC 72, terletak tepat di atas NGC 71 dan di bawah NGC 71 adalah galaksi spiral NGC 70 (kanan) dan NGC 68 (kiri)Data pengamatan (J2000.0 epos)Rasi bintangAndromedaAsensio rekta 00j 18m 28.4dDeklinasi +30j 02m 26.5dPergeseran merah0.024213[1]Kecepatan radial helio7259 km/s[1]Jarak320-325 Mly[2][3]Magnitudo semu (V)13.5[4][2]Ciri-ciriJenisSb[5] Sbc[4] SA(rs)c[2]Ukuran180,000[...

American baseball executive and manager For other people named John McKeon, see John McKeon (disambiguation). Baseball player Jack McKeonMcKeon in 1983ManagerBorn: (1930-11-23) November 23, 1930 (age 93)South Amboy, New Jersey, U.S.Batted: RightThrew: RightMLB debutApril 6, 1973, for the Kansas City RoyalsLast MLB appearanceSeptember 28, 2011, for the Florida MarlinsMLB statisticsGames managed2,042Managerial record1,051–990Winning %.515 Teams Kansas City Royals...

 

County clerk of Cook County, Illinois Cook County ClerkIncumbentVacantsince April 7, 2024Term length4 yearsFormationMarch 1831 (appointed position)August 1837 (elected position) The Cook County Clerk is the clerk of county government in Cook County, Illinois. History The office of Cook County Clerk was established as an elected office with a four-year term in August 1837. Prior to this, from 1831 to 1837, the Clerk was appointed by the three Cook County Commissioners.[1] Officeho...

 

Indian psychiatrist and schizophreniz researcher Thara RangaswamyBornChennai, IndiaOccupationDoctorSpouseP. Srinivasan Thara Rangaswamy (born 25 May 1953) is a psychiatrist in India, the co-founder of an NGO called SCARF (Schizophrenia Research Foundation) based in Chennai, India. She is a researcher in schizophrenia and community mental health. In 2020, she received the SIRS Outstanding Clinical and Community Research Award of SIRS[1] (Schizophrenia International Research Society), a...

NK NewsURLwww.nknews.orgTipeSurat kabar daringPerdagangan ?YaRegistration (en)OpsionalLangueInggrisPemilikNK Consulting, Inc.Service entry (en)2011NegaraKorea Selatan Peringkat Alexa 112,862 (Oktober 2020[update])[1]KeadaanAktif NK News adalah situs web Amerika berbasis langganan yang menyediakan berita dan analisis tentang Korea Utara. Didirikan pada tahun 2011, berkantor pusat di Seoul, Korea Selatan dengan reporter di Washington, D.C. dan London.[2] Pelaporan d...

 

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (نوفمبر 2019) هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحس...

 

Unguía FaultFalla UnguíaEtymologyUnguíaCoordinates08°03′27″N 77°07′23″W / 8.05750°N 77.12306°W / 8.05750; -77.12306Country Colombia PanamaRegionCaribbean, Pacific/ChocóStateChocóDariénCharacteristicsRangeSerranía del DariénPart ofCaribbean faultsLength139.9 km (86.9 mi)Strike356.3 ± 30DipWestDip angleLow to moderateDisplacement~0.2–1 mm (0.0079–0.0394 in)/yrTectonicsPlateCaribbean, North AndeanStatusInactiveTypeObl...

2001 2014 Élections municipales de 2008 à Toulouse Maire de Toulouse 9 et 16 mars 2008 Type d’élection Election municipale Postes à élire 68 conseillers municipaux Corps électoral et résultats Inscrits 242 961 Votants au 1er tour 137 283 Votes exprimés au 1er tour 129 724 Votes blancs au 1er tour 2 766 Votants au 2d tour 134 517 Votes exprimés au 2d tour 141 577 Votes blancs au 2d tour 5 206 Pierre Cohen – PS Avec vous, Toulouse avanc...

 

Cet article est une ébauche concernant le commerce. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Livreur de pizza sur une motocyclette. La livraison de pizza est un service dans lequel une pizzeria livre une pizza à un client situé dans une zone géographique proche directement à domicile ou au bureau. Pour cela un moyen de transport, classiquement une automobile ou un deux-roues, est utilisé. La command...

 

Instant messaging interface CentericqIRC chat windowDeveloper(s)Konstantin KlyaginInitial releaseAugust 1, 1999; 24 years ago (1999-08-01)[1]Final release4.21.0 (September 2, 2005; 18 years ago (2005-09-02)) [±] Written inC++Operating systemCross-platformAvailable inbg, cs, de, en, es, fr, hu, it, ms, nl, pl, pt, ro, ru, sv, uk, zh[2]TypeInstant messaging clientLicenseGPLWebsitethekonst.net/en/centericq Centericq is a text mode ...

Шалфей обыкновенный Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:РастенияКлада:Цветковые растенияКлада:ЭвдикотыКлада:СуперастеридыКлада:АстеридыКлада:ЛамиидыПорядок:ЯсноткоцветныеСемейство:ЯснотковыеРод:ШалфейВид:Шалфей обыкновенный Международное научное наз...

 

For the Shaoxing era, see Emperor Gaozong of Song. For the former Shaoxing County, see Keqiao District. For the wine, see Shaoxing wine. Kuaiji redirects here. For other uses, see Kuaiji (disambiguation). Prefecture-level city in Zhejiang, People's Republic of ChinaShaoxing 绍兴市ShaohsingPrefecture-level cityLeft to right, top to bottom: Bazi Bridge over the Eastern Zhejiang Canal, Shaoxing cityscape, Didang subdistrict, Tishan Bridge, traditional houses in Zhuji.ShaoxingShow map of Zheji...

 

Classic hits radio station in Pittsfield, Massachusetts WUPESimulcast of WUPE-FM, North AdamsPittsfield, MassachusettsBroadcast areaBerkshire MountainsFrequency1110 kHzBrandingWhoopeeProgrammingFormatClassic hitsAffiliationsCompass Media NetworksPremiere NetworksUnited Stations Radio NetworksOwnershipOwnerTownsquare Media(Townsquare License, LLC)Sister stationsWBEC, WBEC-FM, WNAW, WSBS, WUPE-FMHistoryFirst air dateSeptember 9, 1971; 52 years ago (1971-09-09) (as WGRG)Former ...

Artikel ini memerlukan pemutakhiran informasi. Harap perbarui artikel dengan menambahkan informasi terbaru yang tersedia. Istilah kekaisaran atau Imperium menyiratkan perluasan kedaulatan suatu Negara atau Bangsa atas wilayah-wilayah eksternal, yang membawahi banyak negara, suku, dan bangsa untuk membentuk suatu kesatuan politik raya. Di antara kekaisaran-kekaisaran besar dalam sejarah kemanusiaan dapat ditemukan, misalnya, Kerajaan Spanyol pertama kemudian, Kerajaan Inggris , yang pada zaman...

 

طائرة عائمة دي هافيلاند توين أوتر تكمل هبوطها على الماء رحلة الخطوط الجوية الأمريكية رقم 1549 «حَطَّت على الماء» في نهر هدسون في عام 2009 وبقي جميع الركاب على قيد الحياة. في مجال الطيران، الهبوط على الماء (water landing)، يعتبر بالمعنى الواسع، هبوط طائرة على مسطح مائي. تهبط الطائرات ا...