Prázdná množina

Prázdná množina je v matematice množina, která neobsahuje žádné prvky. Značí se obvykle symbolem přeškrtnuté nuly $\emptyset$ , někdy psané též jako $\varnothing$ , popř. ∅, anebo symbolem prázdných množinových (složených) závorek {}.

Množina, která není prázdná, tzn. množina obsahující nějaké prvky, bývá označována jako neprázdná množina.

Formální zavedení v teorii množin

V dnes nejčastěji používaném axiomatickém systému Zermelově-Fraenkelově teorii množin se existence prázdné množiny dokazuje ze schématu axiomů vydělení a axiomu existence (existuje alespoň jedna množina) formulí

pro množinu

x

definujme

\emptyset :=\{y\in x;\,y\neq y\}

Z axiomu extenzionality pak plyne, že prázdná množina je jediná, tj. libovolné dvě prázdné množiny jsou si rovny.

Vlastnosti

Prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny:
∀ A: ∅ ⊆ A
Libovolná množina se sjednocením s prázdnou množinou nemění:
∀ A: ∅ ∪ A = A
Průnik libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina:
∀ A: ∅ ∩ A = ∅
Kartézský součin libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina:
∀ A: ∅ × A = A × ∅ = ∅
Jedinou (a to nevlastní) podmnožinou prázdné množiny je právě prázdná množina; žádné vlastní podmnožiny prázdná množina nemá:
∀ A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
Mohutnost prázdné množiny je nula, prázdná množina je tedy konečná:
|∅| = 0

Prázdná množina jako topologický prostor je zároveň otevřená, uzavřená a kompaktní.

Součet prvků prázdné množiny se obvykle definuje jako 0, součin prvků prázdné množiny jako 1, supremum prázdné množiny reálných čísel jako $-\infty$ a infimum jako $+\infty$ .

Vysvětlení některých vlastností

Definice podmnožiny říká, že každý prvek podmnožiny musí být prvkem druhé množiny. Obecný kvantifikátor pro každý prvek platí je u prázdné množiny vždy splněn, jak plyne z elementárních pravidel logiky.

Také je třeba si uvědomit, že např. A = {∅} není prázdná množina. Je to množina o jednom prvku, kterým je prázdná množina (tzn. jeden prvek množiny A je prázdnou množinou).

Aplikací tohoto faktu je množinové zavedení přirozených čísel (0 je reprezentována ∅, 1 jako {∅} a n jako množina $\{0,1,\ldots ,n-1\}$ ).

Literatura

ŠTĚPÁNEK, Petr; BALCAR, Bohuslav. Teorie množin. Praha: Academia, 2005. ISBN 80-200-0470-X.

Související články

Univerzální množina

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu prázdná množina na Wikimedia Commons

Teorie množin

Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály

Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference

Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram

Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina

Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin

Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine

Read other articles:

M.E Voices

M.E VoicesInformasi latar belakangNama lainM.E eMbung ElehAsalBandung, IndonesiaGenreR&BSoulTahun aktif1991–1999 2009–SekarangLabelAriolaCeepee ProductionOrlando StudioCityParty DigitalArtis terkaitDenny Didan 9 Seasons SabaAnggotaDenny Saba Fery Martawidjaja Widi Cipto Utomo Didan FitrasaktiMantan anggotaIrvan Natadiningrat M.E Voices atau yang ia dikenal dengan M.E dan eMbung Eleh merupakan grup vokal pria asal Indonesia yang dibentuk pada tahun 1991 ini berawal terdiri dari Didan F...

Seroja Putih

Halaman ini berisi artikel tentang gerakan agama dan politik. Untuk serial televisi, lihat The White Lotus. Seroja Putih白蓮教Perkumpulan Seroja Putih, c. Ming—QingPenggolonganKepercayaan keselamatan TiongkokOrientasiAjaran MaitreyaBahasaTionghoaPendiriHuiyuanDidirikanSemasa Dinasti Jin Gunung Lu, JiujiangTerpecah dariBuddhisme Tanah MurniSerapanTionghoa Manikeanisme Seroja Putih atau Lotus Putih (Hanzi sederhana: 白莲教; Hanzi tradisional: 白蓮教; Pinyin: Báili�...

Phillip Noyce

Phillip NoyceNoyce di Comic Con 2010 di San DiegoLahir29 April 1950 (umur 73)Griffith, New South WalesAustraliaTahun aktif1969-sekarangSuami/istriVuyo Dyasi (2006–sekarang)Jan Sharp (1979–2004)Jan Chapman (1971–1977) Phillip Noyce (lahir 29 April 1950) adalah seorang sutradara film asal Australia. Ia menyutradarai lebih dari 19 film. Ia membuat dua film dengan pemeran populer Harrison Ford dan dikenal karena film Australia 2002 Rabbit-Proof Fence. Referensi Bacaan tambahan Ma...

Eva Mendes

American actress (born 1974) Eva MendesMendes in 2022BornEva de la Caridad Méndez (1974-03-05) March 5, 1974 (age 50)Miami, Florida, U.S.OccupationActressYears active1996–2014PartnerRyan Gosling (2011–present)Children2 Eva de la Caridad Méndez (/ˈmɛndɛz/, Spanish: [ˈeβa ðe la kaɾiˈðað ˈmendes]; born March 5, 1974),[1] known professionally as Eva Mendes, is an American actress. Her acting career began in the late 1990s, with a series of roles in films...

Merian C. Cooper

Pour les articles homonymes, voir Cooper et Merian. Merian C. Cooper Merian C. Cooper photographié le 2 juillet 1927. Données clés Nom de naissance Merian Caldwell Cooper Naissance 24 octobre 1893JacksonvilleFloride, États-Unis Nationalité Américaine Décès 21 avril 1973 (à 79 ans)San DiegoCalifornie, États-Unis Profession Producteur, réalisateurScénariste Films notables Chang (1927)King Kong (1933) modifier Merian Caldwell Cooper est un aventurier, aviateur, producteur, scé...

Michael Peña

Michael PeñaPeña pada pemutaran perdana film The Martian di Festival Film Internasional TorontoLahirMichael Anthony Peña13 Januari 1976 (umur 48)Chicago, Illinois, A.S.Pekerjaan Aktor pemusik Tahun aktif1994–sekarangSuami/istriBrie Shaffer (m. 2006)Anak1 Michael Anthony Peña (/ˈpeɪnjə/; bahasa Spanyol: [ˈpeɲa]; lahir 1 Januari 1976)[1] adalah aktor Amerika. Dia telah membintangi banyak film, termasuk Crash (2004), World Trade C...

Гражданский корпус охраны окружающей среды

Сотрудники корпуса строят дорогу, 1933. Лагеря корпуса в Мичигане. Вместо палаток для сотрудников корпуса военные вскоре соорудили бараки. Наволочка от подушки. Музей корпуса в Мичигане. Гражданский корпус охраны окружающей среды[1], или Гражданский корпус охраны прир�...

Goindval

Town in Punjab, IndiaGoindwal SahibTownGoindwal SahibLocation in Punjab, IndiaShow map of PunjabGoindwal SahibGoindwal Sahib (India)Show map of IndiaCoordinates: 31°22′N 75°9′E / 31.367°N 75.150°E / 31.367; 75.150Country IndiaStatePunjabDistrictTarn TaranRegionMajhaPopulation (2010) • Total7,772Languages • OfficialPunjabiTime zoneUTC+5:30 (IST)PIN143422STD code01859 The Baoli Sahib Goindwal (Punjabi: ਗੋਇੰਦਵਾਲ, ...

Post-thrombotic syndrome

Medical conditionPost-thrombotic syndromeOther namespostphlebitic syndrome, venous stress disorderPerson with post-thrombotic syndrome and leg ulcersSpecialtyHematology Post-thrombotic syndrome (PTS), also called postphlebitic syndrome and venous stress disorder is a medical condition that may occur as a long-term complication of deep vein thrombosis (DVT). Signs and symptoms Signs and symptoms of PTS in the leg may include:[1] pain (aching or cramping) heaviness itching or tingling s...

Folia

Type of musical composition For other uses, see Folia (disambiguation) and Folium (disambiguation). La Folía (Spanish), or Follies (English), also known as folies d'Espagne (French), La Follia (Italian), and Folia (Portuguese), is one of the oldest remembered European musical themes, or primary material, generally melodic, of a composition, on record. The theme exists in two versions, referred to as early and late folias, the earlier being faster. The 'later' folia, a harmonic-metric scheme ...

Santa Maria dei Miracoli and Santa Maria in Montesanto

Roman Catholic churches, a landmark of Rome, Italy The twin churches of Santa Maria di Montesanto (left) and Santa Maria dei Miracoli (right), seen from Piazza del Popolo. Between the two churches Via del Corso starts. Although very similar, differences can be seen in this image in the two small belfries and in the two domes (noticeable from the number of windows in the tympanum of each church). Santa Maria dei Miracoli and Santa Maria di Montesanto are two churches in Rome. They are located ...

Paombong

Peta menunjukkan lokasi Paombong, Bulacan. Data sensus penduduk di Paombong Tahun Populasi Persentase 199533.149—200041.0774.71%200753.5103.71% Paombong adalah munisipalitas yang ada di provinsi Bulacan, Filipina. Munisipalitas ini memiliki luas sebesar 44.63 km². Menurut sensus tahun 2007, munisipalitas ini memiliki populasi sebesar 53.510 jiwa atau 8.266 rumah tangga. Pembagian wilayah Secara politis Paombong terbagi menjadi 14 barangay, yaitu: Binakod Kapitangan Malumot Masukol Pin...

Edith Massey (actress)

American actress and singer This article is about an American actress. She is not to be confused with Edith Massey, a Welsh botanist and part of the Massey Sisters. Edith MasseyMassey in archive footage from Steve Yeager's 1998 documentary Divine TrashBornEdith Y. Dornfeld(1918-05-28)May 28, 1918New York City, U.S.DiedOctober 24, 1984(1984-10-24) (aged 66)Los Angeles, California, U.S.Resting placeWestwood Village Memorial Park CemeteryOccupation(s)Actress, singerYears active1970–1...

Charles Reade

British novelist and dramatist For other people named Charles Reade, see Charles Reade (disambiguation). Charles ReadeBorn(1814-06-08)8 June 1814Ipsden, Oxfordshire, EnglandDied11 April 1884(1884-04-11) (aged 69)Resting placeWillesden, London, EnglandOccupation Novelist dramatist NationalityBritishEducationMagdalen College, Oxford (BA)Notable awardsThe Cloister and the Hearth (1861)Children1 adoptedParentsJohn ReadeAnne Marie Scott-WaringRelativesWilliam Winwood Reade (nephew) Charles Re...

Christianity in Denmark

Christianity by country Africa Algeria Angola Benin Botswana Burkina Faso Burundi Cameroon Cape Verde Central African Republic Chad Comoros Democratic Republic of the Congo Republic of the Congo Djibouti Egypt Equatorial Guinea Eritrea Eswatini Ethiopia Gabon Gambia Ghana Guinea Guinea-Bissau Ivory Coast Kenya Lesotho Liberia Libya Madagascar Malawi Mali Mauritania Mauritius Morocco Mozambique Namibia Niger Nigeria Rwanda São Tomé and Príncipe Senegal Seychelles Sierra Leone Somalia South...

LVTP-5裝甲車

LVTP-5 LVTP-5类型兩棲裝甲運兵車原产地美国服役记录服役期间1952-参与战争／衝突1958年黎巴嫩危機越戰生产历史研发者博格華納研发日期1950-1951制造数量1124基本规格重量37.4公噸长度9.04公尺宽度3.57公尺高度2.92公尺操作人数3+34 乘員装甲6-16公厘的鋼質裝甲主武器M1919A4機槍(A、A1)、白朗寧M2重機槍(A1與其他款式)、M240通用機槍(LVTH-6)、M49 24倍徑105mm榴彈炮(LVTH-6)、工蜂四型(LVTP-...

鈴木貫太郎

鈴木貫太郎第42任日本内阁总理大臣[1]任期1945年4月7日—1945年8月17日君主昭和天皇前任小磯國昭继任東久邇宮稔彥王个人资料出生1868年1月18日（慶應三年十二月二十四日）大日本帝国和泉國大鳥郡伏尾新田（現大阪府堺市）逝世1948年4月17日(1948歲—04—17)（80歲）日本千葉縣野田市死因肝癌墓地日本千葉縣野田市關宿台町實相寺配偶鈴木トヨ鈴木たか专�...

Annie Girardot

Questa voce o sezione sull'argomento attori francesi non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Annie Girardot ai Premi César 2005 Annie Girardot (Parigi, 25 ottobre 1931 – Parigi, 28 febbraio 2011) è stata un'attrice francese. Indice 1 Biografia 2 Filmografia 2.1 Cinema 2.2 Televisione 3 Riconos...

1. Fußball- und Sportverein Mainz 05 2019-2020

Voce principale: 1. Fußball- und Sportverein Mainz 05. 1. Fußball- und Sportverein Mainz 05Stagione 2019-2020Sport calcio Squadra Magonza Allenatore Sandro Schwarz (1ª-11ª) Achim Beierlorzer (12ª-34ª) All. in seconda Niko Bungert Michael Falkenmayer Jan-Moritz Lichte Michael Thurk Bundesliga13º posto Coppa di GermaniaPrimo turno Maggiori presenzeCampionato: Niakhaté (33)Totale: Niakhaté (34) Miglior marcatoreCampionato: Quaison (13)Totale: Quaison (13) StadioOpel Arena Maggior ...

Arcidiocesi di Chambéry, San Giovanni di Moriana e Tarantasia

Arcidiocesi di Chambéry, San Giovanni di Moriana e TarantasiaArchidioecesis Camberiensis, Maurianensis et TarantasiensisChiesa latinaSuffraganea dell'arcidiocesi di Lione ArcivescovoThibault Verny Presbiteri115, di cui 75 secolari e 40 regolari3.473 battezzati per presbitero Religiosi61 uomini, 136 donne Diaconi30 permanenti Abitanti454.000 Battezzati454.000 (88,0% del totale) StatoFrancia Superficie7.460 km² Parrocchie141 Erezione18 agosto 1779 (Chambéry)VI secolo...