Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.
Přesné znění
Pro grupu G a její podgrupu H platí:
- , kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy (počet levých cosetů H v G).
Důkaz
Nejprve ukážeme, že levé cosety tvoří dohromady pro rozklad množiny G. Protože , nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak pro nějaké . Jinými slovy pro nějaká musí být . Vynásobením na pravé straně prvkem dostaneme
. Pro jednoduchost provedeme substituci . Vzhledem k definici podgrupy , a proto
.
, neboť rovněž , a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali , a proto .
Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.
Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro . Definujme f rovnicí
- Důkaz injektivity: Předpokládejme .
. Obě strany vynásobíme zleva prvkem
Nechť značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne .
QED.
Důsledky
Řád každého prvku , neboli nejnižší přirozené číslo n, pro které , je řád cyklické grupy generované prvkem a, a proto podle Lagrangeovy věty n dělí řád grupy G.
Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než Eulerova-Fermatova věta. Dá se ukázat, že množina zbytků modulo n, které jsou s n nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je e = 1; existence inverzního prvku je důsledek Bézoutovy rovnosti pro gcd(g,n) = 1; asociativita vyplývá z vlastností modulární aritmetiky; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s n je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo n. Řád takové grupy je právě , což je Eulerova funkce. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek g nějaký řád k, který je dělitelem čísla . Odtud plyne
, kde
což je ekvivalentí zápisu
.
Příbuzná tvrzení
Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.
Související články