Termín „homogenní“ se v matematice používá v několika významech:
- Homogenní funkce
- Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu
- Homogenní diferenciální rovnice (v protikladu k „nehomogenním“ diferenciálním rovnicím); jedná se o vlastnost určitých lineárních diferenciálních rovnic, která nesouvisí s výše uvedenými dvěma případy
Homogenní funkce
Definice. Funkci nazýváme homogenní funkcí stupně n, jestliže znásobením proměnné konstantním parametrem dostaneme:
Tuto definici můžeme zobecnit na funkce více proměnných; například funkce dvou proměnných se nazývá homogenní stupně n, jestliže nahrazením obou proměnných a jejich násobkem a , dostaneme
Příklad. Funkce je homogenní funkcí stupně 2 protože:
Tato definice homogenní funkce se používá pro klasifikaci určitého typu diferenciálních rovnic prvního řádu.
Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu
Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu ve tvaru:
je homogenního typu, jestliže obě funkce M(x, y) a N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně n[1]. To znamená, že vynásobením každé proměnná parametrem dostáváme:
- a
odtud
Metoda řešení
V podílu
můžeme položit . Tím podíl zjednodušíme na nějakou funkci jedné proměnné :
Provedeme substituci a výsledek zderivujeme pomocí součinového pravidla:
čímž převedeme původní diferenciální rovnici na tvar umožňující separaci proměnných:
tento tvar můžeme přímo integrovat (viz obyčejná diferenciální rovnice).
Speciální případ
Diferenciální rovnici prvního řádu tvaru:
(kde a, b, c, e, f, g jsou konstanty) můžeme převést na homogenní tvar lineární transformací obou proměnných ( a jsou konstanty):
Homogenní lineární diferenciální rovnice
Definice. Lineární diferenciální rovnice se nazývá homogenní, pokud splňuje následující podmínku: Je-li řešením rovnice, pak je řešením i , kde je libovolná (nenulová) konstanta. Aby tato podmínka byla splněna, každý term v lineární diferenciální rovnici se závislou proměnnou y musí obsahovat y nebo nějakou derivaci y; konstantní term homogenitu narušuje. Lineární diferenciální rovnice, která tuto podmínku nesplňuje, se nazývá nehomogenní.
Lineární diferenciální rovnice můžeme reprezentovat aplikací lineárního operátoru na y(x) kde x je nezávislá proměnná a y je závislá proměnná. Homogenní lineární diferenciální rovnice pak má následující tvar:
kde L je diferenciální operátor tj. součet derivací, z nichž každá je znásobena nějakou funkcí proměnné x:
přitom mohou být konstanty, ale všechny se nesmí definitoricky rovnat nule.
Například následující diferenciální rovnice je homogenní
zatímco následující dvě jsou nehomogenní:
Související články
Poznámky
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Homogeneous differential equation na anglické Wikipedii.
- BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Elementary differential equations and boundary value problems. 10. vyd. [s.l.]: Wiley, 2012. Dostupné online. ISBN 978-0470458310. . (Dobrý úvod do diferenciálních rovnic.)
- INCE, E. L. New York: Dover Publications, 1956. Dostupné online. ISBN 0486603490. . (Klasické referenční příručka o obyčejných diferenciálních rovnicích, poprvé publikovaná v roce 1926.)
Externí odkazy