Grupový homomorfismus

Znázornění grupového homomorfismu (h) grupy G (vlevo) do grupy H (vpravo). Ovál uvnitř H je obraz homomorfismu h. N je jádro homomorfismu h a aN je třída rozkladu homomorfismu N.

Grupový homomorfismus grupy (G,∗) do grupy (H, ·) je v matematice zobrazení h : GH takové, že pro libovolné dva prvky u a v grupy G platí

kde grupová operace na levé straně rovnice je operace grupy G a na pravé straně operace grupy H.

Z této vlastnosti lze odvodit, že h převádí neutrální prvek eG grupy G na neutrální prvek eH grupy H:

a také převádí inverzní prvky na inverzní prvky v tom smyslu, že

Je tedy možné říct, že h „je kompatibilní se strukturou grupy“.

V oblastech matematiky, v nichž se pracuje s grupami doplněnými další strukturou, homomorfismus někdy znamená zobrazení, které zachovává nejen výše popsanou strukturu grupy, ale také tuto další strukturu. Například u homomorfismu topologických grup se často požaduje, aby byl spojitý.

Intuice

Účelem grupového homomorfismu je vytvořit funkce, které zachovávají algebraickou strukturu. Ekvivalentní definice grupového homomorfismu je: Funkce h : GH je grupový homomorfismus právě tehdy, když

z ab = c   plyne   h(a) ⋅ h(b) = h(c).

Jinými slovy to znamená, že grupa H má v určitém smyslu podobnou algebraickou strukturu jako G a homomorfismus h tuto strukturu zachovává.

Typy

Monomorfismus
Grupový homomorfismus, který je injektivní (nebo, jeden-to-jeden); tj. zachovává rozdílnost.
Epimorfismus
Grupový homomorfismus, který je surjektivní (zobrazení „na“); tj. jeho obrazem jsou všechny prvky v cílové množině.
Izomorfismus
Grupový homomorfismus, který je bijektivní; tj. injektivní a surjektivní. Jeho inverze je také grupový homomorfismus. V tomto případě se grupy G a H nazývají izomorfní; liší se pouze názvy svých prvků (kromě prvku identity) a jsou pro všechny praktické účely identické. To znamená, že všechny prvky kromě identity mají jiné názvy.
Endomorfismus
Grupový homomorfismus, h: GG; definiční obor a cílová množina jsou stejné. Také mluvíme o endomorfismu grupy G.
Automorfismus
Bijektivní grupový endomorfismus, tj. izomorfismus. Množina všech automorfismů grupy G, s operací skládání funkcionálů také tvoří grupu, grupu automorfismů grupy G, kterou značíme Aut(G). Příkladem je grupa automorfismů (Z, +), která obsahuje pouze dva prvky, identickou transformaci a násobení číslem −1; je izomorfní s (Z/2Z, +).

Obraz a jádro

Podrobnější informace naleznete v článcích Obraz (matematika) a Jádro (algebra).

Definujeme jádro homomorfismu h jako množinu prvků v G které jsou zobrazeny na identitu v H

a obraz homomorfismu h jako množinu prvků v H které jsou obrazem grupy G homomorfismem h

Jádro a obraz homomorfismu lze povařovat za určení míry, jak blízký je k izomorfismu. první věta o izomorfismu říká, že obraz grupového homomorfismu h(G) je izomorfní s faktorovou grupou G/ker h.

Jádro homomorfismu h je normální podgrupa grupy G. Předpokládá a ukazují pro libovolný :

Obrazem homomorfismu h je podgrupa grupy H.

Homomorfismus h je grupový monomorfismus; tj. h je injektivní (jeden-to-jeden) právě tehdy, když ker(h) = {eG}. Z injektivity přímo plyne, že existuje jediný prvek v jádře, a opačně, jediný prvek v jádře dává injektivitu:

Příklady

  • Uvažujme cyklickou grupu Z3 = (Z/3Z, +) = ({0, 1, 2}, +) a grupu celých čísel (Z, +). Map h : ZZ/3Z s h(u) = u mod 3 je grupový homomorfismus. Je surjektivní a jeho jádro sestává ze všech celých čísel, která jsou dělitelná třemi.
  • Množina tvoří grupu s operací násobení matic. Pro libovolné komplexní číslo u funkce fu : GC* definovaná vztahem:je grupovým homomorfismem.
  • Uvažujme multiplikativní grupu kladných reálných čísel (R+, ⋅) pro libovolné komplexní číslo u. Potom funkce fu : R+C definovaná vztahem: je grupový homomorfismus.
  • Exponenciální zobrazení dává grupový homomorfismus grupy reálných čísel R s operací sčítání na grupu nenulových reálných čísla R* s násobením. Jádro je {0} a obraz sestává z kladných reálných čísel.
  • Exponenciální zobrazení také dává grupový homomorfismus grupy komplexních čísel C se sčítání do grupa nenulových komplexních čísel C* s násobení. Toto zobrazení je surjektivní a má jádro {2πki : kZ}, jak je vidět z Eulerova vzorce. Tělesa jako R a C, která mají homomorfismy své aditivní grupy do své multiplikativní grupy, se tedy nazývají exponenciální tělesa.
  • Funkce , definovaná vztahem je homomorfismus.
  • Uvažujme dvě grupy a , reprezentované , resp. , kde jsou kladná reálná čísla. Potom funkce definovaná funkcí logaritmus je homomorfismus.

Kategorie grup

Pokud h : GH a k : HK jsou grupové homomorfismy, pak kh : GK je také grupový homomorfismus. To ukazuje, že třída všech grup s morfismy tvořenými grupovými homomorfismy, tvoří kategorii (konkrétně kategorii grup).

Homomorfismy Abelových grup

Pokud G a H jsou Abelovy (tj. komutativní) grupy, pak množina Hom(G, H) všech grupových homomorfismů z G na H je také Abelova grupa: součet h + k dvou homomorfismů je definovaný vztahem

(h + k)(u) = h(u) + k(u)    pro všechna u z G.

K důkazu, že h + k je také grupový homomorfismus je potřebná komutativita grupy H.

Sčítání homomorfismů je kompatibilní se skládáním homomorfismů v následující smyslu:, pokud f je v Hom(K, G), h, k jsou prvky Hom(G, H), a g je v Hom(H, L), pak

(h + k) ∘ f = (hf) + (kf)    a    g ∘ (h + k) = (gh) + (gk).

Protože skládání je asociativní, množina End(G) všech endomorfismů Abelovy grupy tvoří okruh nazývaný okruh endomorfismů grupy G. Například okruh endomorfismů Abelovy grupy tvořený direktním součtem m kopií grupy Z/nZ je izomorfní s okruhem matic m krát m s hodnotami z grupy Z/nZ. Výše uvedená kompatibilita také ukazuje, že kategorie všech Abelových grup s grupovými homomorfismy tvoří preaditivní kategorii; existence direktních součtů a rozumných jader činí z této kategorie prototypický příklad Abelovy kategorie.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Group homomorphism na anglické Wikipedii.

  • DUMMIT, D. S.; FOOTE, R., 2004. Abstract Algebra. 3. vyd. [s.l.]: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. S. 71–72. 
  • LANG, Serge. Algebra. 3. vyd. Svazek 211. New York: Springer-Verlag (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 978-0-387-95385-4. 

Související články

Externí odkazy