El procés de naixement i mort (o procés de naixement i mort) és un cas especial de procés de Màrkov de temps continu on les transicions d'estat només són de dos tipus: "naixements", que augmenten la variable d'estat en un i "morts". que disminueixen l'estat en un. Va ser presentat per William Feller.^[1] El nom del model prové d'una aplicació comuna, l'ús d'aquests models per representar la mida actual d'una població on les transicions són naixements i morts literals. Els processos de naixement i mort tenen moltes aplicacions en demografia, teoria de les cues, enginyeria del rendiment, epidemiologia, biologia i altres àrees. Es poden utilitzar, per exemple, per estudiar l'evolució dels bacteris, el nombre de persones amb una malaltia dins d'una població o el nombre de clients a la fila al supermercat.

Quan es produeix un naixement, el procés passa de l'estat n a n + 1. Quan es produeix una mort, el procés va d'estat n a estat n − 1. El procés s'especifica per taxes de natalitat positives ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }}$ i taxes de mortalitat positives ${\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }}$. El nombre d'individus en el procés al mateix temps ${\displaystyle t}$ es denota per ${\displaystyle X(t)}$. El procés té la propietat de Màrkov i ${\displaystyle P_{i,j}(t)={\mathsf {P}}\{X(t+s)=j|X(s)=i\}}$ descriu com ${\displaystyle X(t)}$ canvis a través del temps. Per a petits ${\displaystyle \triangle t>0}$, la funció ${\displaystyle P_{i,j}(\triangle t)}$ se suposa que compleix les propietats següents:

${\displaystyle P_{i,i+1}(\triangle t)=\lambda _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 0,}$

${\displaystyle P_{i,i-1}(\triangle t)=\mu _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1,}$

${\displaystyle P_{i,i}(\triangle t)=1-(\lambda _{i}+\mu _{i})\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1.}$

Aquest procés està representat per la figura següent amb els estats del procés (és a dir, el nombre d'individus de la població) representats pels cercles, i les transicions entre estats indicades per les fletxes.

Per a la recurrència i la transitorietat en els processos de Markov, vegeu la Secció 5.3 de la cadena de Màrkov.

Les condicions per a la recurrència i la transitorietat van ser establertes per Samuel Karlin i James McGregor.^[2]

Un procés de naixement i mort és recurrent si i només si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty .}$

Un procés de naixement i mort és ergòdic si i només si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}<\infty .}$

Un procés de naixement i mort és nul-recurrent si i només si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}=\infty .}$

Mitjançant l'ús de la prova de Bertrand ampliada (vegeu la secció 4.1.4 de Ratio test) les condicions de recurrència, transitorietat, ergodicitat i recurrència nul·la es poden derivar d'una forma més explícita.^[3]

Per a nombre sencer ${\displaystyle K\geq 1,}$ deixar ${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$ denoten el ${\displaystyle K}$ la iteració del logaritme natural, és a dir ${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$ i per a qualsevol ${\displaystyle 2\leq k\leq K}$, ${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$.

Aleshores, les condicions per a la recurrència i la transitorietat d'un procés de naixement i mort són les següents.

El procés de naixement i mort és transitori si n'hi ha ${\displaystyle c>1,}$${\displaystyle K\geq 1}$ i ${\displaystyle n_{0}}$ tal que per a tots ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}+{\frac {c}{n\prod _{j=1}^{K}\ln _{(j)}(n)}},}$

on la suma buida per ${\displaystyle K=1}$ s'assumeix que és 0.

El procés de naixement i mort és recurrent si n'hi ha ${\displaystyle K\geq 1}$ i ${\displaystyle n_{0}}$ tal que per a tots ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}.}$

Es poden trobar classes més àmplies de processos de naixement i mort, per als quals es poden establir les condicions de recurrència i transitorietat.^[4]

Considereu la caminada aleatòria unidimensional ${\displaystyle S_{t},\ t=0,1,\ldots ,}$ que es defineix de la següent manera. Deixa ${\displaystyle S_{0}=1}$, i ${\displaystyle S_{t}=S_{t-1}+e_{t},\ t\geq 1,}$ on ${\displaystyle e_{t}}$ pren valors ${\displaystyle \pm 1}$, i la distribució de ${\displaystyle S_{t}}$ es defineix per les condicions següents:

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}+1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}-1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=1|S_{t}=0\}=1,}$

on ${\displaystyle \alpha _{n}}$ satisfer la condició ${\displaystyle 0<\alpha _{n}<\min\{C,n/2\},C>0}$.

El passeig aleatori descrit aquí és un anàleg de temps discret del procés de naixement i mort (vegeu la cadena de Màrkov) amb les taxes de natalitat

${\displaystyle lambda_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{n}}{n}},}$

i les taxes de mortalitat

${\displaystyle \mu _{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{n}}{n}}}$