En matemàtiques, el potencial de Riesz és un potencial que porta el nom del seu descobridor, el matemàtic hongarès Marcel Riesz. En cert sentit, el potencial de Riesz defineix una inversa per a una potència de l'operador de Laplace a l'espai euclidià. Generalitzen a diverses variables les integrals de Riemann-Liouville d'una variable.^[1][2]

Si 0 < α < n, aleshores el potencial de Riesz I_α f d'una funció integrable localment f sobre Rⁿ és la funció definida per ^[3]

${\displaystyle (I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y}$

on la constant ve donada per

${\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).}$

Aquesta integral singular està ben definida sempre que f decaï prou ràpidament a l'infinit, concretament si f ∈ L^p (Rⁿ) amb 1 ≤ pàg < n / α. De fet, per a qualsevol 1 ≤ p ( p >1 és clàssic, a causa de Sobolev, mentre que per a p =1 vegeu (Schikorra, Spector & Van Schaftingen 2014) , la taxa de decadència de f i la de I_α f es relacionen en forma d'una desigualtat (la desigualtat Hardy–Littlewood–Sobolev) ^[4]

${\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},}$

on ${\displaystyle Rf=DI_{1}f}$ és la transformada de Riesz amb valors vectorials. De manera més general, els operadors I_α estan ben definits per al complex α tal que 0 < Re α < n.

El potencial de Riesz es pot definir de manera més general en un sentit feble com la circumvolució

${\displaystyle I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }}$

on K _α és la funció localment integrable:

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.}$

Per tant, el potencial de Riesz es pot definir sempre que f sigui una distribució suportada de manera compacta. En aquest sentit, el potencial de Riesz d'una mesura positiva de Borel μ amb suport compacte és principalment d'interès en la teoria del potencial perquè I_α μ és aleshores una funció subharmònica (continua) fora del suport de μ, i és inferior semicontinua en tot Rⁿ.

La consideració de la transformada de Fourier revela que el potencial de Riesz és un multiplicador de Fourier. De fet, un té

${\displaystyle {\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }}$

i per tant, pel teorema de la convolució,

${\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.}$

Els potencials de Riesz satisfan la següent propietat del semigrup en, per exemple, funcions contínues que disminueixen ràpidament

${\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }}$

proporcionat

${\displaystyle 0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.}$

A més, si 0 < Re α < n–2, aleshores

${\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }.}$

També es té, per a aquesta classe de funcions,

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).}$