Políedre dual

El dual d'un tetràedre és ... un tetràedre!
Successió de Truncaments que passa des d'un cub fins al seu octàedre dual.

En geometria, el políedre dual d'un políedre P és un políedre Q, obtingut mitjançant l'intercanvi dels papers dels vèrtexs i les cares de P. El dual de Q és altre cop P.

Si P i Q tenen la mateixa estructura combinatòria, P s'anomena autodual. Entre els 5 sòlids platònics, el tetràedre és autodual, mentre que el cub i l'octàedre són d'un dual de l'altre, igual com licosàedre i el dodecàedre també són duals l'un de l'altre.

El dual d'un sòlid arquimedià és un sòlid de Catalan.

Definicions

No existeix una definició unívoca de políedre dual que funcioni per a tots els políedres. Hi ha dues nocions, una combinatòria i l'altra mètrica, que en general coincidixen en els poliedres més regulars.

Dualitat combinatòria

Des del punt de vista combinatori, dos poliedres i són duals si existeix una correspondència biunívoca entre els conjunts de vèrtex, arestes i cares de i que inverteix les adjacències. Més precisament:

  1. associa respectivament a un vèrtex, aresta o cara de una cara, aresta o vèrtex de ;
  2. Una cara de incideix en una aresta si i només si l'aresta incideix en el vèrtex ; viceversa, una aresta incideix en un vèrtex de si i només si la cara incideix en .

Aquesta dualitat s'anomena dualitat combinatòria. La dualitat combinatòria no té en compte les mides dels políedres, és a dir el seu volum, la longitud de les seves arestes, o els angles formats per elles.

Si és un políedre convex, un dual combinatori s'obté traint un punt intern a cada cara que farà de vèrtex i prenent l'evolvent convexa d'aquests punts. Des del punt de vista mètric el dual depèn de la tria dels punts, però no des del punt de vista combinatori.

Dualitat mètrica

Des del punt de vista mètric, dos políedres i són duals si s'obtenen l'un de l'altre per una inversió circular respecte d'una esfera . En aquest cas es parla de dualitat mètrica.

Molts sòlids, com els sòlids regulars o els sòlids arquimedians, tenen un "centre" . En aquest cas, el dual del sòlid es considera generalment el dual mètric segons qualsevol esfera centrada en . Esferes amb radis diversos donen lloc a políedres semblants: els políedres duals queden completament definits des del punt de vista mètric tret d'una relació de semblança.

Construcció de Dorman Luke

Per a tot políedre uniforme, les cares del políedre dual mètric es poden trobar a partir dels vèrtexs del políedre original fent servir la construcció de Dorman Luke. Aquesta construcció va ser descrita per primer cop per Cundy i Rollett (1961) i més tard generalitzada per Magnus Wenninger (1983).

Per exemple, aquí es té la figura de truncar el vèrtex (vermell) del cuboctàedre i es fa servir per obtenir una cara (blau) del dodecàedre rombic.

Construcció de Dorman-Luke

Abans de començar la construcció, s'obté la figura del vèrtex ABCD a base de tallar cada aresta incident (en aquest cas) al seu punt mitjà.

Llavors se segueix la construcció de Dorman Luke:

  1. Dibuixar la circumferència circumscrita (tangent a cada aresta).
  2. Traçar les línies tangents a la circumferència circumscrita a cada aresta A, B, C, D.
  3. Marcar els punts E, F, G, H, on cada línia interseca la línia adjacent.
  4. El polígon EFGH és una cara del políedre dual.

La mida de la figura del vèrtex' s'ha triat de forma que la seva circumferència circumscrita romangui en l'esfera inscrita del cuboctàedre, la qual també esdevé l'esfera inscrita del dodecàedre ròmbic dual.

La construcció de Dorman Luke només es pot fer servir en políedres tals que tenen esfera inscrita i la figura dels vèrtexs és cíclica, és a dir en políedres uniformes.

Poliedres duals

Sòlids platònics

El dual d'un tetràedre és el tetràedre
El dual del tetràedre és el tetràedre
dual del cub dual de l'octàedre
El dual del cub és l'octàedre El dual de l'octàedre és el cub
dual del dodecàedre dual de l'icosàedre
El dual del dodecàedre és l'icosàedre El dual de l'icosàedre és el dodecàedre

Sòlids arquimedians

sòlid dual
tetràedre truncat tetràedre truncat tetràedre triakis Tetràedre triakis
cub truncat Cub truncat octàedre triakis octàedre triakis
octàedre truncat octàedre truncat Cub tetrakis Cub tetrakis
cuboctàedre cuboctàedre dodecàedre ròmbic Dodecàedre ròmbic
rombicuboctàedre rombicuboctàedre icositetràedre trapezoïdal icositetràedre trapezoïdal
cuboctàedre truncat Cuboctàedre truncat octàedre hexaquis octàedre hexaquis
cub xato cub xato icositetràedre pentagonal icositetràedre pentagonal
dodecàedre truncat dodecàedre truncat icosàedre triakis icosàedre triakis
icosàedre truncat icosàedre truncat dodecàedre pentakis dodecàedre pentakis
icosidodecàedre icosidodecàedre triacontàedre ròmbic triacontàedre ròmbic
rombicosidodecàedre rombicosidodecàedre hexacontàedre pentagonal hexacontàedre pentagonal
icosidodecàedre truncat icosidodecàedre truncat icosàedre hexakis icosàedre hexakis
dodecàedre xato dodecàedre xato hexacontàedre pentagonal hexacontàedre pentagonal

Políedres de Kepler-Poinsot

sòlid dual
petit dodecàedre estelat petit dodecàedre estelat gran dodecàedre gran dodecàedre
gran dodecàedre estelat gran dodecàedre estelat gran icosàedre gran icosàedre

Dualitat entre cúpules geodèsiques

Cúpula geodèsica com a triangulació Cúpula geodèsica La cúpula dual té l'aspecte d'un rusc cúpula dual

Referències

  • Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-54325-8. 
  • B. Grünbaum & G. Shephard, Duality of polyhedra, Shaping space – a polyhedral approach, ed. Senechal and Fleck, Birkhäuser (1988), pp. 205-211.
  • P. Gailiunas & J. Sharp, Duality of polyhedra, Internat. journ. of math. ed. in science and technology, Vol. 36, No. 6 (2005), pp. 617-642.

Enllaços externs

Read other articles:

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Januari 2023. Artikel ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia.Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. Atala Riffo and Daughters v. ChilePengadilanInter-American Court of Human R...

 

1980 Japanese anime television series The Adventures of Tom SawyerOpening logoトム・ソーヤーの冒険(Tomu Sōyā no Bōken)GenreComedy-drama, historical, Adventure, Western Anime television seriesDirected byHiroshi SaitoProduced byTakaji MatsudoWritten byMei KatōTakeshi KiyoseSeijirō KōyamaYoshiro TomitaTadahiko IsomiAkira MiyazakiShōgo ŌtaMusic byKatsuhisa HattoriStudioNippon AnimationOriginal networkFuji TVEnglish networkUK: The Children's ChannelUS: HBOOrig...

 

At va'ani Chanson de Shlomo Artzi auConcours Eurovision de la chanson 1975 Sortie 1975 Langue Hébreu Genre Pop Auteur Ehud Manor Compositeur Shlomo Artzi Classement 11e (40 points) Chansons représentant Israël au Concours Eurovision de la chanson Natati la khayay(1974) Emor shalom(1976)modifier At va'ani (en alphabet hébreu : את ואני, en français Toi et moi) est la chanson représentant Israël au Concours Eurovision de la chanson 1975 à Stockholm, en Suède. Elle est i...

Agustinian, dari nama Santo Agustinus dari Hippo (354–430), termasuk salah satu ordo mendikan beranggotakan para biarawan / biarawati yang menjalani kehidupan keagamaan berupa pencampuran perenungan dan ministry kerasulan serta mengikuti Aturan Santo Agustinus, yaitu dokumen pendek yang berisi garis-garis besar tata cara hidup dalam komunitas keagamaan. Pada awalnya kelompok ini dikenal sebagai Persaudaraan Pertapa Santo Agustinus (OESA - Ordo Eremitarum sancti Augustini), atau disebut juga...

 

Currency of Italian East Africa This article's lead section may be too short to adequately summarize the key points. Please consider expanding the lead to provide an accessible overview of all important aspects of the article. (August 2017) Banknote of 100 lira AOI from 1938 The Italian East African lira was a special banknote circulating in Italian East Africa (Italian: Africa Orientale Italiana, AOI) between 1938 [1] and 1941. Data When Fascist Italy imposed the Italian lira in occu...

 

Antikenmuseum Basel und Sammlung LudwigInformations généralesType Musée d'art, musée archéologique, institution patrimoniale (en)Ouverture 1961Site web www.antikenmuseumbasel.ch/ (de)CollectionsCollections antiquitésNombre d'objets sculpture, céramiqueBâtimentProtection Bien culturel suisse d'importance nationale (d)LocalisationPays SuisseDivision administrative Bâle-VilleCommune BâleAdresse St. Albangraben 54010 BaselCoordonnées 47° 33′ 16″ N, 7° 35′...

Massachusetts politician Michelle CiccoloMember of the Massachusetts House of Representativesfrom the 15th Middlesex districtIncumbentAssumed office January 2, 2019Preceded byJay R. Kaufman Personal detailsBorn1968 (age 55–56)Lexington, Massachusetts, U.S.Political partyDemocraticSpousePhilip JacksonChildren2Residence(s)Lexington, Massachusetts, U.S.Alma mater Villanova University (BA) University of Massachusetts, Boston (MPA) Michelle Ciccolo (born 1968) is a State...

 

Athletic shorts for men or women A Hooters waitress wearing orange Dolfins Dolphin shorts or Dolfins are a specific style of unisex shorts worn for athletics. Descriptions Dolphin shorts are a style of unisex shorts designed to be worn for athletics. They are typically very short and were originally made from nylon with contrasting binding, side slits, and rounded corners, with a waistband at the top—a style popular in the 1980s.[1][2] History The name is from Dolfin, the Am...

 

Willem Dafoe al Festival di Cannes 2019 Willem Dafoe, vero nome William James Dafoe (IPA: [ˈwɪləm dəˈfoʊ]; Appleton, 22 luglio 1955), è un attore e doppiatore statunitense con cittadinanza italiana[1]. Nella sua carriera ha ricevuto numerosi riconoscimenti ed è stato candidato a quattro Premi Oscar e quattro Golden Globe, oltre ad aver vinto, tra gli altri, la Coppa Volpi al Festival di Venezia. Inizia a recitare negli anni ottanta in diversi film e raggiunge la fama internazi...

1794 battle during the War of the First Coalition Battle of Tournay (1794)Part of the Flanders campaign in the War of the First CoalitionAustrian command at the Battle of TournayDate22 May 1794LocationPont-à-Chin, Belgium50°38′38″N 3°20′41″E / 50.644019°N 3.344689°E / 50.644019; 3.344689Result Coalition victoryBelligerents  Habsburg Austria Great Britain Hanover Dutch Republic French RepublicCommanders and leaders Emperor Francis II Prince of Cob...

 

American politician Beth DoglioMember of the Washington House of Representativesfrom the 22nd districtIncumbentAssumed office January 9, 2023Serving with Jessica BatemanPreceded byLaurie DolanIn officeJanuary 9, 2017 – January 11, 2021Preceded bySam HuntSucceeded byJessica Bateman Personal detailsBorn1965 (age 58–59)[1]Illinois, U.S.Political partyDemocraticSpouseEddy CatesEducationIndiana University Bloomington (BA)WebsiteCampaign website...

 

French author and Nobel laureate (1869–1951) André GideBornAndré Paul Guillaume Gide(1869-11-22)22 November 1869Paris, FranceDied19 February 1951(1951-02-19) (aged 81)Paris, FranceResting placeCimetière de Cuverville, Cuverville, Seine-MaritimeOccupationNovelist, essayist, dramatistEducationLycée Henri-IVNotable worksThe ImmoralistStrait Is the Gate Les caves du Vatican (The Vatican Cellars; sometimes published in English under the title Lafcadio's Adventures) The Pastoral Symphony...

You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Hebrew. Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedia. Do not translate text that appears unreliable or low-quality. If possibl...

 

Robert H. GoddardLahir(1882-10-05)5 Oktober 1882[1]Worcester, Massachusetts, Amerika SerikatMeninggal10 Agustus 1945(1945-08-10) (umur 62)[1]Baltimore, Maryland, Amerika SerikatKebangsaanAmerika SerikatPendidikan Institut Politeknik Worcester Universitas Clark PekerjaanProfesor, insinyur kedirgantaraan, fisikawan, penemuDikenal atasRoket bertenaga cair pertamaSuami/istriEsther Christine Kisk ​ ​(m. 1924⁠–⁠1945)​Pengh...

 

Apple > iPad > iPad Pro > 12.9インチiPad Pro (第5世代) iPad Pro 製造元 Apple種別 タブレット (コンピュータ)世代 第5世代発売日 2021年5月21日OS iPadOS 14.5(初期搭載)→ iPadOS 17.2SoC Apple M1 8コア ARM64メモリ 8GB16GB(1TB/2TBモデル) (LPDDR4X)ストレージ フラッシュメモリ128GB,256GB,512GB,1TB,2TBディスプレイ 12.9インチ (330 mm) 4:3アスペクト比 画面解像度:2732 x 2048px(264ppi)、...

此條目没有列出任何参考或来源。 (2016年4月27日)維基百科所有的內容都應該可供查證。请协助補充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除。 2016年夏季奧林匹克運動會排球比赛室內資格賽男子女子比賽男子女子沙灘資格賽男子女子比賽男子女子查论编 本條目列舉2016年夏季奧林匹克運動會女子排球比賽的參賽資格及出線隊伍名單。各資格賽從...

 

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Полак. Лев Соломонович Полак Дата рождения 15 июня 1908(1908-06-15) Место рождения Митвайда Дата смерти 16 апреля 2002(2002-04-16) (93 года) Место смерти Москва Страна  СССР Россия Род деятельности историк математики ...

 

Spanish philosopher and essayist (1941–2021) This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sour...

Language native to South India TeluguతెలుగుThe word Telugu in Telugu scriptPronunciation[ˈt̪eluɡu] (Telugu, native) /ˈtɛlʊɡuː/ (English)Native toIndiaRegionNorth, Western and Southern India Andhra Pradesh Telangana Yanam Karnataka West Bengal (Kharagpur) Maharashtra Odisha (south) Chhattisgarh Jharkhand Tamil Nadu[1] EthnicityTeluguChenchuWaddar[2]Native speakersL1: 83 million (2011 census)[3][4]L2: 13 million (2011 census)...

 

Former voivodeship of Poland Silesian VoivodeshipWojewództwo Śląskie (Polish)Voivodeship of Poland1920–1939 Coat of arms Location of the Silesian Voivodeship within Poland (1938).Poland, population density, 1931CapitalKatowiceArea • Coordinates50°15′N 19°00′E / 50.250°N 19.000°E / 50.250; 19.000  • 19215,100 km2 (2,000 sq mi)Population • 1921 1,125,528• 1931 1,295,027• 1939 1,533,500 Gov...