Nielsen va néixer a l'illa d'Als, en aquella época de sobirania prussiana. La seva mare va morir quan era nen i va viure amb una tia. Va acabar els estudis secundaris a Rendsburg el 1907 i l'any següent va ingressar a la universitat de Kiel, on va obtenir el doctorat el 1913.[1] En acabar, va ser cridat a files i va estar a l'exèrcit alemany durant tota la Primera Guerra Mundial, sent destinat primer a Bèlgica i després a Turquia.[2]
El 1919, en deixar l'exèrcit, va estar uns mesos de 1919 a la universitat de Göttingen i el 1920 va ser nomenat professor de la universitat de Breslau. El 1920 es va fer un plebiscit a resultes del qual l'illa d'Als va passar a ser de sobirania danesa. Com que ell va escollir la ciutadania danesa, no va poder continuar a la universitat alemanya de Breslau i va marxar el 1921 a Copenhaguen on va obtenir una plaça de professor de matemàtiques a la Reial Universitat Veterinària i Agrícola.[3] En aquest any va començar les seves recerques sobre el teorema del punt fix de Lefschetz que el van porta a desenvolupar el que avui es coneix com a teoria de Nielsen.[4]
El 1925, en jubilar-se Christian Juel, va ocupar el seu lloc a la Universitat Tècnica de Dinamarca i el 1951, en retirar-se Harald Bohr, va passar a ser catedràtic de la universitat de Copenhagen. El 1945 havia sigut delegat danès a la conferència internacional que va crear la UNESCO i el 1952 va ser escollit membre del consell executiu de l'organització. La carga de treball que li representava això va fer que es retirés de la universitat el 1955,[5] tot i que va continuar fent recerca pel seu compte.[6]
Nielsen va publicar una quarantena llarga d'articles i una desena de llibres de text. Els seus temes principals van ser la teoria de grups combinatoris (de la qual se'l considera un dels fundadors),[7] la topologia de superfícies[8] i la teoria dels punts fixos.[9]
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Jakob Nielsen (matemàtic)» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
Hansen, Vagn Lundsgaard. «Jakob Nielsen - matematiker». Den Store Danske, 2020. [Consulta: 15 setembre 2020].(danès)
«Nielsen, Jakob». DTU Historie, Danmarks Tekniske Universitet. [Consulta: 15 setembre 2020].(danès)