Després de fer els estudis secundaris al Lycée Malherbe de Caen, va ingressar a l'École Normale Supérieure el 1899 on va obtenir l'agrègation (la graduació) en ciències matemàtiques el 1902.[1] Els cursos següents va ser professor de matemàtiques especials al lycée de Caen fins que el 1906 va ser nomenat professor de la universitat de Caen. A continuació, el 1911, va ser professor de la universitat de Montpeller, en la qual, al mateix temps va defensar la seva tesi doctoral sobre hidrodinàmica.
El 1919 va passar a ser professor de mecànica racional a la universitat d'Estrasburg en la qual va romandre fins al 1925, any en què va ser nomenat professor de mecànica de fluids a la universitat de París i director de l’Institut de Mecànica de Fluids.[2] A partir de 1930 també va donar classes l'École Normale Supérieure d'Aéronautique.
Va ser editor i director de les revistes Journal de mathématiques pures et appliquées i Nouvelles annales de mathématiques. A més, va publicar poemes amb un pseudònim desconegut i va ser un virtuós violoncel·lista.
En el període d'entreguerres, Villat va ser l'autèntic líder dels estudis de la mecànica de fluids a França,[3] gaudint d'una relació privilegiada, tan científica com personal, amb el matemàtic italià Tullio Levi-Civita.[4] Paradoxalment, els seus estudis teòrics de les ones i dels vòrtex, cada cop tenien menys aplicacions pràctiques i el seu èxit es va anar desinflant.[5]
