Fracció

Cinc vuitens de pastís de poma
Un pastís sense una quarta part. Les tres quartes parts restants es mostren amb la fracció fraction 1/4

Una fracció (o fraccionari) (del llatí fractus, 'trencat') representa una part d'un tot o, d'una manera més general, qualsevol nombre de parts iguals. Quan es parla en llenguatge quotidià, una fracció descriu quantes parts d'una certa mida hi ha: per exemple, una meitat, cinc vuitens o tres quarts.

Una fracció «comuna», «vulgar» o «simple» (per exemple, i 2/4) està formada per un numerador enter, que s'escriu a sobre d'una línia (o abans d'una barra), i un denominador enter diferent de zero, que s'escriu sota de la línia (o després de la barra). Els numeradors i denominadors també s'utilitzen en fraccions que no són comunes, entre les quals fraccions compostes, fraccions complexes i numerals mixtos. El numerador representa un nombre de parts iguals, i el denominador, que no pot ser zero, indica quantes d'aquestes parts formen una unitat o un tot. Per exemple, en la fracció 3/4, el numerador (3) indica que la fracció representa 3 parts iguals, i el denominador indica que 4 parts formen el tot.[1]

Els nombres fraccionals també poden ser escrits sense utilitzar numeradors o denominadors explícits, ja sigui usant decimals, signes de percentatge o exponents negatius (per exemple, 0,01, 1% i 10−2 respectivament, els quals són tots equivalents a 1/100). Un enter tal com el nombre 7 es pot interpretar com que té un denominador implícit de u: 7 és igual a 7/1.

Altres usos de les fraccions són per representar proporcions i divisions.[2] Per tant, la fracció 3/4 també s'utilitza per representar la proporció 3:4 (la proporció d'una part respecte del tot) i la divisió 3 ÷ 4 (tres dividit entre quatre).

Història

A l'antic Egipte, es calculava utilitzant fraccions els denominadors dels quals eren enters positius; són les primeres fraccions utilitzades per representar les «parts d'un enter», per mitjà del concepte de recíproc d'un nombre enter.[3] Això equival a considerar fraccions com: un mig, un terç, un quart,... d'aquí vel el fet que les sumes de fraccions unitàries es coneguin com fracció egípcia. Es pot demostrar, a més, que qualsevol nombre racional positiu es pot escriure com a fracció egípcia. El jeroglífic d'una boca oberta

D21

denotava la barra de fracció (/), i un arc numèric esrit sota de la "boca oberta", denotava el denominador de la fracció.

Els babilonis utilitzaven fraccions el denominador del qual era una potència de 60. El sistema xinès de numeració amb varetes permetia la representació de fraccions. Els antics grecs i romans van utilitzar també les fraccions unitàries, utilització que va persistir fins a l'època medieval. Diofant d'Alexandria (segle IV) escrivia i utilitzava fraccions. Posteriorment, es va introduir la «ratlla horitzontal» de separació entre numerador i denominador, i el numerador va deixar de restringir-se al número u, donant a lloc a les anomenades fraccions vulgars o comunes. Finalment, es van introduir les «fraccions decimals», en què el ednominador és una potència de deu.

Es creu que les fraccions decimals eren conegudes pels matemàtics xinesos en el segle I i que va ser d'allà d'on es va estendre el seu ús a mig Orient i a Europa.[4] J. Lennart Berggren va notar que un sistema posicional amb fraccions decimals va ser utilitzat pel matemàtic àrab Al-Uqlidissí en el segle x.[5]

Khwarazmí va introduir les fraccions en els països islàmics en el segle IX. La forma de representar les fraccions provenia de la representació tradicional xinesa, amb el numerador situat sobre del denominador, però sense la barra separadora. Aquesta forma d'escriptura de les fraccions amb un numerador a dalt i el denominador avall, sense una barra horitzontal, va ser utilitzada també en el segle X per Al-Uqlidissí i en el segle XV per Al-Kaixí en la seav obra La clau de l'aritmètica.

Leonardo de Pisa (Fibonaccci) en el seu Liber Abaci (Llibre de l'Àbac), escrit l'any 1202, va exposar una teoria dels nombres fraccionals. Va presentar les fraccions com fraccions egípcies, és a dir, com a suma de fraccions amb numeradors unitaris i denominadors no repetits. A més, va descriure el seu ús i les va desenvolupar dins del marc modern de les sèries matemàtiques.

L'ús modern de les fraccions va ser introduït definitavament per Simon Stevin en el segle xvi.xvi.[6]

Cronologia[7]
Any Aconteixement
1800 a.C. Registre d'ús de fraccions per l'Imperi Babilònic.
1650 a.C. Sistema de fraccions egípcies.
500-600 d.C. Aryabhata i Brahmagupta van desenvolupar les fraccions unitàries.
100 Sistema xinès de càlcul de fraccions amb varetes (Suanpan).
1202 Fibonacci difón la notació amb barra per separar numerador i denominador.
1585 Teoria sobre les fraccions decimals de Simon Stevin.
1700 Ús generalitzat de la línia fraccionària (barra horitzontal o oblíqüa).

Tipus de fraccions

Hi ha molts tipus de fraccions:

on els ai són enters positius.
  • Fracció composta: Fracció on el numerador o denominador (o els dos) conté al seu torn fraccions.
  • Fracció parcial: La que pot usar-se per a descompondre una funció racional.

Comparació de fraccions

La comparació de fraccions permet determinar, d'una parella de fraccions o més, quina és la que té un valor superior. Es poden donar tres casos:

Fraccions amb igual denominador

Per fraccions que tenen el mateix denominador s'ha de comparar els numeradors és. La fracció amb major numerador serà més gran.

  • Exemple: i . La primera fracció és major, ja que 9> 3.

Fraccions amb igual numerador

De dues o més fraccions que tenen igual numerador és més gran la que té menor denominador.

  • Exemple: i . La major és

Fraccions amb diferent numerador i denominador

Per fraccions amb diferent numerador i denominador, s'han de buscar fraccions equivalents trobant el mínim comú denominador (reduir fraccions a comú denominador) i, a partir d'aquí, seria un problema del primer cas.

  • Exemple: i El mínim comú denominador és 20, resultant i . Com 10 <12, <

Segueix-se la setena especie, que diem trencats

Aquest apartat comença amb la definició de nombre trencat, fracció: “Nombre trencat és tot ço i quant no és un enter, o lo que ha part d’un enter”.

Tot nombre trencat s’escriurà amb dos nombres, l’un damunt de l’altre amb una ratlla horitzontal al mig, que s'anomena nombrador (el que compta les parts trencades, a dalt) i denominador (que denomina i demostra quines parts trencades són, a baix): “Lo denominador tostemps fa un enter, i lo nombrador demostra les parts trencades que no compleixen a un enter”.

 Ensenyarà a reduir nombres trencats, sumar-los, restar-los, multiplicar-los,dividir-los, abreviar-los i saber-ne el valor: 

Reduir: “Metre diversos nombres trencats de diversos denominadors en un denominador comú a tots per fer-los semblants”.  

En donarà dues regles per a saber-ho fer, una és per a reduir dos nombres trencats i l’altra per reduir-ne molts. Per a reduir-ne dos el que s'ha de fer és, a partir de dues fraccions, posar com a comú denominador el producte dels dos denominadors, i com a nombrador de cada fracció, el nombrador antic multiplicat pel divisor de l’altra fracció. També explica com reduir enter i trencat per trencat, o per enter i trencat, etc. I per a reduir-ne dos o més troba el mínim comú múltiple dels denominadors i arregla cada fracció segons convé. Cal fer èmfasis és en dir que el terme “mínim comú múltiple” no l’utilitza, sinó que per dir que 12 és m.c.m. de 2, 3, 4 i 6 ell diu que 2, 3, 4 i 6 es troben en 12, que explica també com trobar-ho. 

Ajustar: Dos nombres trencats no es poden ajustar si no tenen el mateix divisor, és per això que s'ha ensenyat a reduir. Seguidament ensenya com sumar-los: trobant el m.c.m., que serà el divisor del "trencat suma", i sumant els nombradors una vegada reduïts, que compondrà el nombrador del "trencat suma". 

Restar: Igual procediment que en la suma amb la diferència que enlloc de sumar tots els nombradors reduïts per a obtenir el nombrador del "trencat resta", aquesta vegada es resten. 

Multiplicar: Inicia l’apartat donant-ne el mètode per a fer-ho (el mateix que l'actual) i s’esplaia en gran quantitat d’exemples sobre com multiplicar trencat per trencat, 

enter i trencat per trencat, enter i trencat per enter, etc. 

Dividir: Com que s'ha parlat de multiplicar, ara és indispensable parlar de dividir. Per a dividir un trencat, cal reduir el partidor i la suma (quocient i dividend) amb denominador comú 1. Una vegada fet això es partiran com si fossin enters. Per a donar pràctica del mètode s'adjunta sis exemples segons les diferents variacions que es poden presentar. 

Exemple: Partirem 3 i ¾ per 2/3.

 Primer de tot es redueix l'enter en el seu trencat, dient 4 vegades 3 fan 12, i 3 són 15. Es redueix tot a comú denominador 1 i es diu que 4 vegades 2 fan 8, i de 45 entre 8 en surt 5 i 5/8. 

Abreviar: Per poder abreviar un nombre trencat s'ha d’anar trobant nombres que divideixin tant a nombrador com a denominador, el que vingui de la divisió del nombrador serà el nou nombrador i el que vingui de la divisió del denominador serà el nou denominador. En altres paraules queda explicada la simplificació de fraccions seguida d’algun exemple. 

Donat que ha parlat de multiplicar i de dividir, explica també, com a complement d’aquests apartats, com manipula els nombres si vol doblar o mediar, triplicar, etc. Per a doblar, per exemple, es pot tant multiplicar el nombrador per 2 com dividir el denominador per 2 (respectivament 3 per triplicar). I per a mediar dividim el nombrador per 2 o multipliquem el denominador per 2. En ambdós casos s’explica que si es vol dividir, per exemple per 2, el numerador o el denominador, sigui quin sigui haurà de ser múltiple de 2. 

Saber el valor: Quan es vol saber el valor de qualsevol nombre trencat, cal multiplicar el nombre d’aquell trencat per tant com val l'enter que és, i dividir la multiplicació pel denominador. El que en surti de la divisió serà el valor d’aquell nombre trencat. 

Exemple: “Quant valen ¾ d’1 florí a raó d’11 sous”.  

S'ha de multiplicar el valor del florí, 11 sous, per 3, que és el nombrador. En surten 3 sous, els quals s'han de dividir per 4, que és el denominador. Es té ara 8 sous, i resta 1 sou. Es multipliquen per 12 diners (valor del sou) i es divideixen per 4, aconseguint 3 diners. Llavors s'obté que ¾ de florí valen 8 sous 3 diners.  

Enllestits aquests apartats, ara posarà multitud d’exemples sobre nombres trencats aplicats a les diferents espècies anteriors, perquè quedi clara la pràctica, inclosa la regla de tres: 

Exemple: “Si ½ i 1/3 són ¾ i 1/5 d’una cosa, 2/3 i 3/7 què seran?” 

Per començar la resolució s'han de reduir tots els nombres que donats i l'enunciat s'haurà transformat en “Si 35/42 són 19/20 d’una cosa, 1+4/42 què seran?”. Llavors només cal aplicar la regla de tres, “multipliquem pel contrari i dividim pel semblant”. Obtenint com a resultat: 

“Un enter i 4 vintens i, de les 35 parts d’1 vintè, les 34 parts”.

Referències

  1. Maths, Sangaku. «Introducció a les fraccions». Arxivat de l'original el 2022-01-29. [Consulta: 29 gener 2022].
  2. H. Wu, The Mis-Education of Mathematics Teachers, Notices of the American Mathematical Society, Volum 58, Exemplar 03 (març 2011), pàg. 374 Arxivat 2017-08-20 a Wayback Machine. (anglès)
  3. Eves, Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. An introduction to the history of mathematics. 6th ed.. Philadelphia: Saunders College Pub., 1990. 
  4. Needham, Joseph. Science and Civilisation in China, Volume III (en anglès). Cambridge University Press, 1949. 
  5. Berggren, J. Lennart. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (en anglès). Princeton University Press, p. 518. ISBN 9780691114859. 
  6. Van der Waerden, Bartel Leendert. A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether (en anglès). Berlín: Springer-Verlag. 
  7. Tony Crilly. 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel, 2011. 
  8. «Fracció irreductible i fracció reductible». Arxivat de l'original el 2022-01-29. [Consulta: 29 gener 2022].
  9. «FRACCIONS: CONCEPTE, TIPUS, LECTURA, EXEMPLES I TEST EN LINIA: SECUNDARIA, ESO». Arxivat de l'original el 2022-01-29. [Consulta: 29 gener 2022].

Read other articles:

Coventry CityBerkas:Coventry City FC logo.svgNama lengkapCoventry City Football ClubJulukanThe Sky BluesBerdiri13 Agustus 1883(sebagai Singers F.C.)[1]StadionRicoh Arena, Coventry(Kapasitas: 32,609[2])PemilikOtium Entertainment GroupManajerMark RobinsLigaDivisi Championship2022–23ke-5, Divisi Championship Kostum kandang Kostum tandang Musim ini Coventry City Football Club adalah sebuah klub sepak bola Inggris yang didirikan pada tahun 1883. Bermarkas di Coventry, West Midlan...

 

artikel ini perlu dirapikan agar memenuhi standar Wikipedia. Tidak ada alasan yang diberikan. Silakan kembangkan artikel ini semampu Anda. Merapikan artikel dapat dilakukan dengan wikifikasi atau membagi artikel ke paragraf-paragraf. Jika sudah dirapikan, silakan hapus templat ini. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Mochamad Adnan Rektor Universitas Gadjah Mada ke-9Masa jabatan1990 – 1994 PendahuluProf. Dr. Koesnadi Hardjasoemantri, SH,MLPenggan...

 

Ketua Dewan Perwakilan Rakyat Republik IndonesiaLambangPetahanaPuan Maharanisejak 1 Oktober 2019Masa jabatan5 tahunDibentuk1949; 75 tahun lalu (1949)Pejabat pertamaSartonoSitus webwww.dpr.go.id Ketua Dewan Perwakilan Rakyat Republik Indonesia atau Ketua DPR RI adalah salah satu dari lima pimpinan Dewan Perwakilan Rakyat (DPR) yang dipilih dari dan oleh anggota DPR. Berdasarkan Pasal 86 UU Nomor 17 Tahun 2014, pimpinan DPR bertugas untuk:[1] memimpin sidang DPR dan menyimpulk...

Town in the state of Maine, United States Town in Maine, United StatesCanton, MaineTownMain Street in 1909Canton, MaineLocation within the state of MaineCoordinates: 44°27′26″N 70°18′15″W / 44.45722°N 70.30417°W / 44.45722; -70.30417CountryUnited StatesStateMaineCountyOxfordIncorporated1821Area[1] • Total30.50 sq mi (78.99 km2) • Land29.12 sq mi (75.42 km2) • Water1.38 sq m...

 

2005 live album by Maroon 5Live – Friday the 13thLive album by Maroon 5ReleasedSeptember 20, 2005RecordedMay 13, 2005VenueSanta Barbara Bowl, Santa Barbara, CaliforniaLength77:58 (DVD and CD)LabelA&M OctoneProducerMelinda KellyMaroon 5 chronology 1.22.03.Acoustic(2004) Live – Friday the 13th(2005) It Won't Be Soon Before Long(2007) Professional ratingsReview scoresSourceRatingAllMusic[1]Rolling Stone[2] Live – Friday the 13th is a live DVD and CD release by M...

 

Mingo Status konservasi Tidak dievaluasi (IUCN 3.1) Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Chordata Kelas: Actinopterygii Ordo: Perciformes Famili: Lutjanidae Genus: RhomboplitesT. N. Gill, 1862 Spesies: R. aurorubens Nama binomial Rhomboplites aurorubens(G. Cuvier, 1829) Sinonim Centropristis aurorubens G. Cuvier, 1829 Mesoprion elegans Poey, 1860 Aprion ariommus D. S. Jordan & C. H. Gilbert, 1883 Mingo adalah sejenis ikan kakap yang berasal dari wilayah Samudra Atlantik...

Kepala Kepolisian Negara Republik IndonesiaLambangPetahanaJenderal Pol. Listyo Sigit Prabowosejak 27 Januari 2021Dicalonkan olehPresiden Republik IndonesiaDitunjuk olehDewan Perwakilan Rakyat Republik Indonesia (Komisi III)Pejabat perdanaSoekanto TjokrodiatmodjoDibentuk29 September 1945; 78 tahun lalu (1945-09-29)WakilGatot Eddy PramonoSitus webwww.polri.go.id Kepala Kepolisian Negara Republik Indonesia atau umumnya disingkat menjadi Kapolri, adalah pejabat yang menjadi pimpinan ter...

 

МифологияРитуально-мифологическийкомплекс Система ценностей Сакральное Миф Мономиф Теория основного мифа Ритуал Обряд Праздник Жречество Мифологическое сознание Магическое мышление Низшая мифология Модель мира Цикличность Сотворение мира Мировое яйцо Мифическое �...

 

Ricostruzione di murus gallicus a Bibracte. Il Murus gallicus è un metodo di costruzione di fortificazioni difensive usato dalle popolazioni celtiche, soprattutto della Gallia (e diffusasi in seguito in buona parte dell'Europa occidentale) fin dall'Età del ferro, per proteggere i loro antichi dunon (chiamati invece oppidum dai romani) del periodo di La Tène. Indice 1 Struttura 2 Tipologie 3 Bibliografia 4 Voci correlate 5 Altri progetti Struttura Ricostruzione a Bibracte dell'antico Murus ...

Village in Beqaa, LebanonYanta ينطاVillageCountry LebanonGovernorateBeqaaDistrictRashayaArea • Total12.01 sq mi (31.11 km2)Elevation5,050 ft (1,540 m) YantaShown within LebanonAlternative nameYantaLocationnorth of Kfar QouqRegionBekaa ValleyCoordinates33°36′11″N 35°56′39″E / 33.603056°N 35.944167°E / 33.603056; 35.944167HistoryCulturesRomanSite notesConditionRuinsPublic accessYes Yanta is a village si...

 

Хмарний пейзаж Якова Ісаакшуна ван Руйсдаеля . У мистецтві хмарний пейзаж — зображення виду хмар або неба. Зазвичай, як і в прикладах, розглянутих тут, хмари зображуються у вигляді Землі, часто включаючи просто достатньо ландшафту, щоб запропонувати масштаб, орієнтацію, �...

 

President of France and Emperor of the French (1808–1873) Louis Napoleon redirects here. For other uses, see Louis Napoleon (disambiguation). Napoleon IIIPortrait of Napoleon III, 1862Emperor of the FrenchReign2 December 1852 – 4 September 1870PredecessorHimself (as President of France) Napoleon II (1815, as Emperor)SuccessorAdolphe Thiers (as President of France)Cabinet Chief Émile Ollivier Charles Cousin-Montauban President of FranceIn office20 December 1848 – 2 December 185...

Amélie Beaury-SaurelLahirAmélie Beaury1849 (1849)Barcelona, SpanyolMeninggal30 Mei 1924(1924-05-30) (umur 74–75)KebangsaanPrancisDikenal atasLukisan Amélie Beaury-Saurel (19 Desember 1849 – 30 Mei 1924) adalah seorang pelukis Perancis terkenal untuk potret. Life and career Lahir di Barcelona sebagai Amélie Beaury, ia menambahkan Saurel ke namanya sebagai pengakuan atas keluarga ibunya yang dapat melacak garis keturunan mereka hingga kaisar Bizantium pada abad ...

 

МиротворецСезон 1 Рекламный постер Шоураннер Джеймс Ганн В главных ролях Джон СинаДаниэль БруксФредди СтромаЧукуди ИвуджиДженнифер ХолландСтив ЭйджиРоберт Патрик Страна  США Число серий 8 Выпуск Канал HBO Max Трансляция 13 января 2022 — 17 февраля 2022 Хронология сезон...

 

Equestrian sport Several terms redirect here. For other uses, see Horserace (drinking game) and Racehorse (disambiguation). Horse racingHorse racing at Golden Gate Fields, 2017Highest governing bodyGenerally regulated by assorted national or regional governing bodies, International Federation of Horseracing AuthoritiesCharacteristicsContactYesMixed-sexYesTypeOutdoorEquipmentHorse, appropriate horse tackVenueTurf, dirt or synthetic surface race track suitable for horsesPresenceCou...

Josh GadGad di Annie Awards ke-41 pada 2014LahirJoshua Ilan Gad23 Februari 1981 (umur 43)Hollywood, Florida, ASAlmamaterCarnegie Mellon College of Fine ArtsPekerjaanPemeran, pengisi suara, komedian, penyanyiTahun aktif2002–sekarangDikenal atasFrozenThe Book of MormonBeauty and the BeastSuami/istriIda Darvish ​(m. 2008)​Anak2 Joshua Ilan Gad[1] (lahir 23 Februari 1981[2]) adalah seorang pemeran, pengisi suara, komedian dan penyanyi Amer...

 

vteAmbergate–Pye Bridge Line Legend Erewash Valley Line Pye Bridge Erewash Valley Line Swanwick Colliery Swanwick Junction Butterley Hammersmith Ripley Branch Hartshay Colliery Midland Main Line Ambergate Derwent Valley Line Midland Main Line The Ambergate–Pye Bridge line is a partially opened and closed railway line in Derbyshire, England. It was a short east–west line linking the Midland Main Line with the Erewash Valley line. The line was opened by the Midland Railway to freight on ...

 

Sepak takraw padaPekan Olahraga Nasional XIX Ganda regu putra putri Inter regu putra putri Tim ganda putra putri Tim regu putra putri Nomor Tim regu putri cabang olahraga Sepak takraw pada Pekan Olahraga Nasional XIX, akan dimulai pada 18 September dan berakhir pada 20 September 2016. Pertandingan akan dilaksanakan di Gedung Sporthall FPOK UPI, Kota Bandung, Jawa Barat.[1] Usia atlet dibatasi untuk yang berusia maksimal dari 27 tahun (kelahiran 1989). Kualifikasi Jenis Kualifikasi Ta...

  هذه المقالة عن أحمد باقر، شخصية سياسية. لمعانٍ أخرى، طالع أحمد باقر (توضيح). أحمد باقر معلومات شخصية اسم الولادة أحمد يعقوب يوسف باقر العبد الله تاريخ الميلاد 1952 (العمر 72 سنة) الجنسية  الكويت الديانة مسلم الحياة العملية التعلّم ماجستير صيدلة من بريطانيا المهنة سياس...

 

Sfc

Pour les articles homonymes, voir SFC. sfc (pour System File Checker) est une commande MS-DOS - se retrouvant aussi dans Microsoft Windows - qui analyse et vérifie l'intégrité du système protégé et remplace les versions incorrectes des fichiers protégés par des versions appropriées[1]. Notes et références ↑ « SFC », sur technet.microsoft.com (consulté le 31 janvier 2018) v · mCommandes DOS et Windows Système de fichiers (basique) attrib cd ou chdir copy del d...