Axioma d'Arquimedes

Per a altres significats, vegeu «Arquimedes (desambiguació)».
Il·lustració de la propietat arquimediana

L'axioma d'Arquimedes va ser enunciat per Arquimedes de Siracusa en la seva obra De l'esfera i el cilindre, encara que anteriorment va ser utilitzat per Èudox de Cnidos, per la qual cosa també es coneix com a axioma d'Èudox. Originalment va ser enunciat amb segments, és a dir, donats dos segments A i B, on A de longitud menor que B, sempre és possible obtenir un segment més gran que B, traçant A un nombre suficient de vegades. Això que es fa amb longituds, s'estén al cas d'àrees, volums, magnituds i nombres positius. En ell es basa l'algorisme d'Euclides de la divisió euclidiana.

Quan en una estructura algebraica es compleix l'axioma d'Arquímedes, es diu que aquesta estructura és arquimediana o que té la propietat arquimediana. La propietat arquimediana és important en la construcció dels nombres reals.

Exemples

  • (ℕ, +, ⋅, ≤) és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℕ+) (∀y∈ℕ) (∃n∈ℕ+) (y<n⋅x).
  • (ℤ, +, ⋅, ≤) és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℤ+) (∀y∈ℤ) (∃n∈ℕ+) (y<n⋅x).
  • El cos ordenat i commutatiu (ℚ, +, ⋅, ≤), és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℚ+) (∀y∈ℚ) (∃n∈ℕ+) (y<n⋅x).
  • El cos ordenat, commutatiu i complet (ℝ, +, ⋅, ≤), és arquimedià, és a dir, que (∀x∈ℝ+) (∀y∈ℝ) (∃n∈ℕ+) (y<n⋅x).

Com a exemple, demostrem això últim. En efecte, raonem per reducció a l'absurd. Suposem que (∃x∈ℝ+) (∃y∈ℝ) (∀n∈ℕ+) (y ≥ n⋅x), és a dir, el conjunt A ={x, 2x, 3x, ...} està fitat superiorment (per y). A causa de l'axioma del suprem, aquest conjunt té suprem s. Com que x>0, s-x < s i, per tant, s-x ∉ CS (A), així que hi ha un element de A, a la dreta de s-x, és a dir, (∃n0 ∈ ℕ+) (s-x < n0⋅x). D'aquí, s < (n0+1)⋅x, i com (n0+1)⋅x∈A, es té que s no és el suprem de A (ni tan sols seria fita superior de A), en contra que sí que ho és.

Un exemple de cos no arquimedià seria ℚp, és a dir, el dels nombres p-àdics.

Exercici resolt

És cert que (∀x∈ℝ+) (∃n∈ℤ+) (7/(7n+1) <x)?

Això és equivalent a «(∀x∈ℝ+) (∃n∈ℤ+) (7 <(7n+1) x)». La propietat arquimediana, si y = 7, assegura (∀x∈ℝ+) (∃n∈ℤ+) (7<n⋅x), com x>0, n⋅x < (7n+1)⋅x, obtenint el resultat requerit.

Bibliografia

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Axioma d'Arquimedes

Schechter, Eric. Handbook of Analysis and its Foundations. Academic Press, 1997. ISBN 0-12-622760-8. 

Read other articles:

Ghost in the Shell: SAC 2045

Ghost in the Shell: SAC_2045攻殻機動隊 SAC_2045(Kōkaku Kidōtai: SAC_2045)PenciptaMasamune Shirow Animasi web orisinalSutradaraShinji AramakiKenji KamiyamaSkenarioKenji KamiyamaMusikKazuma JinnōchiIrone TodaStudioProduction I.GSola Digital ArtsPelisensiNetflixTayang 23 April 2020 – sekarangDurasi24 menitEpisode12 (Daftar episode)  Portal anime dan manga Ghost in the Shell: SAC_2045 (Jepang: 攻殻機動隊 SAC_2045code: ja is deprecated , Hepburn: Kōkaku Kidōtai: SAC_2045)...

 

Goyang Inul

Goyang InulAlbum studio karya Inul DaratistaDirilis2 Mei 2003GenredangdutLabelBlackboardKronologi Inul Daratista -String Module Error: Match not foundString Module Error: Match not found Goyang Inul (2003) Separuh Nafas (2004)String Module Error: Match not foundString Module Error: Match not found Goyang Inul merupakan album studio perdana karya pedangdut Inul Daratista yang dirilis pada tahun 2003. Singel hitsnya adalah “Goyang Inul”. Lagu ini adalah masterpiece dari Inul dan menjadi...

 

الرابطة التونسية الثالثة لكرة القدم

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (فبراير 2016) الرابطة التونسية الثالثة لكرة القدم الجهة المنظمة الرابطة الوطنية لكرة القدم للهواة تاريخ الإنشاء 1956 ...

Lorenzo Crisetig

Italian footballer Lorenzo Crisetig Crisetig with Inter Milan in 2009Personal informationDate of birth (1993-01-20) 20 January 1993 (age 31)Place of birth Cividale del Friuli, ItalyHeight 1.84 m (6 ft 1⁄2 in)[1]Position(s) MidfielderTeam informationCurrent team PadovaNumber 6Youth career2001–2002 Audace di San Leonardo2002–2007 Donatello2007–2011 Inter MilanSenior career*Years Team Apps (Gls)2011–2012 Inter Milan 0 (0)2012–2014 Parma 0 (0)2012 → I...

 

HINDRAF

Political party in Malaysia Hindu Rights Action Force Malay nameBarisan Bertindak Hak-Hak Hinduباريسن برتيندق حق-حق هيندوChinese name興都維權行動陣綫兴都维权行动阵线Xīngdū wéiquán xíngdòng zhènxiànTamil nameஇந்து உரிமைகள் போராட்டக் குழுIntu urimaikaḷ pōrāṭṭak kuḻuAbbreviationHINDRAFLeadershipWaytha Moorthy PonnusamyUthayakumar PonnusamyManoharan MalayaramVasantha Kumar KrishnanGana...

 

metana

Metana Model bola-stik dari metana Spacefill model of methane Nama Nama IUPAC Metana[2] (substitutif)Tetrahidridokarbon[2] (aditif) Nama lain Karbon tetrahidrida[butuh rujukan]Marsh gas[1]Metil hidrida[1] Penanda Nomor CAS 74-82-8 Y Model 3D (JSmol) Gambar interaktif 3DMet {{{3DMet}}} Referensi Beilstein 1718732 ChEBI CHEBI:16183 Y ChEMBL ChEMBL17564 N ChemSpider 291 Y Nomor EC Referensi Gmelin 59 KEGG C01438 Y MeSH Methane Pub...

WSR-74

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Februari 2023. WSR-74 radar adalah sebuah Weather Surveillance Radar dirancang pada tahun 1974 untuk National Weather Service. Mereka ditambahkan ke jaringan yang ada dari Model WSR-57 untuk meningkatkan prakiraan dan peringatan cuaca buruk. Beberapa telah dijual ke...

 

Telecommunication Company of Iran

Telecommunication Company of IranCompany typePublicTraded asTSE: MKBT1ISIN: IRO1MKBT0008IndustryTelecommunicationsFounded1971HeadquartersTehran, IranKey peopleMajid Soltani (CEO) Ebrahim Mahmoudzadeh (Chairman)Number of employees54,000SubsidiariesMCIWebsitewww.tci.ir Telecommunication Company of Iran, or TCI (Persian: شرکت مخابرات ایران, romanized: Sherkat-e Moxaberat-e Iran), is the fixed-line incumbent operator in Iran offering services in fixed telephony, DSL and data servi...

 

Catholic Church in the 20th century

Period in the history of the Catholic Church The Roman Catholic Church in the 20th century responded to the challenge of increasing secularization of Western society and persecution resulting from great social unrest and revolutions in several countries. It instituted reforms, particularly in the 1970s after the Second Vatican Council, to modernize practices and positions. In this period, Catholic missionaries in the Far East worked to improve education and health care, while evangelizing peo...

俄亥俄州

  「俄亥俄」重定向至此。关于其他用法，请见「俄亥俄 (消歧义)」。 俄亥俄州 美國联邦州State of Ohio 州旗州徽綽號：七葉果之州地图中高亮部分为俄亥俄州坐标：38°27'N－41°58'N, 80°32'W－84°49'W国家 美國加入聯邦1803年3月1日，在1953年8月7日追溯頒定（第17个加入联邦）首府哥倫布（及最大城市）政府 • 州长（英语：List of Governors of {{{Name}}}]]） •&...

 

Luken Baker

American baseball player (born 1997) Baseball player Luken BakerBaker with the Palm Beach Cardinals in 2019St. Louis Cardinals – No. 26First basemanBorn: (1997-03-10) March 10, 1997 (age 27)Spring, Texas, U.S.Bats: RightThrows: RightMLB debutJune 4, 2023, for the St. Louis CardinalsMLB statistics (through 2023 season)Batting average.209Home runs2Runs batted in10 Teams St. Louis Cardinals (2023–present) Luken Grosvenor Baker (born March 10, 1997) is an American professi...

 

K. P. Kesava Menon

Indian activist K. P. Kesava MenonMenon in 1937Born(1886-09-01)1 September 1886Tharoor, Malabar District, Madras Presidency, British India (present day Palakkad, India)Died9 November 1978(1978-11-09) (aged 92)OccupationsPoliticianSocial activistWriterSpouseLaxmi NethyarammaChildren5RelativesK. P. Udayabhanu (nephew) In this Malayali name, the person is referred to by their given name, Kesava Menon, and not by their surname, Kizhakke Potta.Kizhakke Potta Kesava Menon (1 September 1886...

Elizabeth Jane Gardner

Elizabeth Jane GardnerPhotograph of Gardner, ca 1879Lahir(1837-10-04)4 Oktober 1837Exeter, New Hampshire, A.S.Meninggal28 Januari 1922(1922-01-28) (umur 84)Paris, PrancsiKebangsaanAmerikaPendidikanYoung Ladies' Female Academy in Exeter, New Hampshire. Lasell Female Seminary in Auburndale MassachusettsDikenal atasLukisanSuami/istriWilliam-Adolphe Bouguereau ​ ​(m. 1896)​[1] Elizabeth Jane Gardner Bouguereau (4 Oktober 1837 – 28 J...

 

Arnon Milchan

Arnon MilchanLahir6 Desember 1944 (umur 79)Rehovot, British Mandate of Palestine (sekarang Israel)KebangsaanIsraelPekerjaanPebisnisDikenal atasPendiri Regency EnterprisesKekayaan bersih US$3.7 miliar (oktober 4 2021)[1]Suami/istriBrigitte Genmaire (cerai)Amanda CoetzerAnak4[1] Arnon Milchan (Ibrani: ארנון מילצ'ן; lahir 6 Desember 1944) adalah pebisnis Israel yang telah memproduseri lebih dari 130 film.[2] Milchan, seorang miliarder dan pemilik ...

 

خدمة الصحة العامة بالولايات المتحدة

هذه مقالة غير مراجعة. ينبغي أن يزال هذا القالب بعد أن يراجعها محرر؛ إذا لزم الأمر فيجب أن توسم المقالة بقوالب الصيانة المناسبة. يمكن أيضاً تقديم طلب لمراجعة المقالة في الصفحة المخصصة لذلك. (أبريل 2020) خدمة الصحة العامة بالولايات المتحدة خدمة الصحة العامة بالولايات المتحدة ت�...

Abraham Myers

United States and Confederate States Army officer (1811–1889) Abram Myers redirects here. For the FTC chairman and motion picture organization figure, see Abram F. Myers. Abraham MyersUndated photo of Myers in uniformBornAbraham Charles Myers(1811-05-14)14 May 1811Georgetown, South CarolinaUnited StatesDiedJune 1889 (1889-07) (aged 78)Washington, D.C., USBurial placeSt. Paul's CemeteryAlexandria, Virginia, US38°47′58″N 77°03′25″W / 38.79955°N 77.05698°W...

 

Hawaii hotspot

Volcanic hotspot near the Hawaiian Islands, in the Pacific Ocean Hawaiʻi hotspotBathymetry of the Hawaiian–Emperor seamount chain, showing the long volcanic chain generated by the Hawaii hotspot, starting in Hawaiʻi and ending at the Aleutian TrenchA diagram demonstrating the migration of the Earth's crust over the hotspotCountryUnited StatesStateHawaiiRegionNorth Pacific OceanCoordinates18°55′N 155°16′W / 18.92°N 155.27°W / 18.92; -155.27—Kamaʻehuakanal...

 

Romania women's national cricket team

Cricket team For the men's team, see Romania national cricket team. RomaniaFlag of RomaniaAssociationCricket RomaniaInternational Cricket CouncilICC statusAssociate member[1] (2017) Affiliate member (2013)ICC regionEuropeICC Rankings Current[2] Best-everWT20I 50th 50th (4 August 2023)Women's Twenty20 InternationalsFirst WT20Iv.  Malta at Moara Vlasiei Cricket Ground, Ilfov County; 27 August 2022Last WT20Iv.  Greece at Marina Ground, Gouvia; 9 September 2023WT20I...

Brothers of Italy

Italian political party For the Italian national anthem, see Il Canto degli Italiani. FdI redirects here. For other uses, see FDI. Brothers of Italy Fratelli d'ItaliaAbbreviationFdIPresidentGiorgia MeloniCoordinatorGiovanni Donzelli [it]FoundersGiorgia MeloniIgnazio La RussaGuido CrosettoFounded21 December 2012; 11 years ago (2012-12-21)Split fromThe People of FreedomHeadquartersVia della Scrofa 39, RomeNewspaperLa Voce del PatriotaStudent wingStudent Actio...

 

Districts of Costa Rica

Administrative division of Costa Rica Politics of Costa Rica Constitution Abortion law LGBT rights Executive President (list) Rodrigo Chaves Robles Vice Presidents Stephan Brunner Mary Munive Legislature Legislative Assembly (History) President: Rodrigo Arias Sánchez Judiciary Supreme Court of Justice President: Fernando Cruz Castro Administrative divisions Provinces and comarcas Cantons Districts Local government Indigenous territories Elections Recent elections General: 201420182022 2007 C...