En matemàtica , amplificar una fracció és l'acció de multiplicar tant el numerador com el denominador d'aquesta, per un mateix nombre, amb l'objectiu d'obtenir una fracció equivalent^[1] a la fracció inicial. La simplificació o reducció de fraccions a l'acció de dividir numerador i denominador d'una fracció per un mateix nombre amb l'objectiu d'obtenir una fracció equivalent .

El procediment és vàlid per a tot nombre real diferent de zero, ja que, fent ús de la propietat que té l'element Neutre multiplicador^[2] del conjunt de nombres reals (Anell amb unitat) , es pot prendre una fracció que sigui equivalent a 1 (element neutre) de tal manera que el seu numerador i denominador siguin nombres reals iguals no nuls. Això s'escriu així.

Siguin ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\,\!}$ nombres reals qualsevol diferents de zero, llavors s'ha de:

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{1}}}={\frac {a_{2}}{a_{2}}}=...={\frac {a_{n}}{a_{n}}}=1\,\!}$

No és vàlida per al real zero perquè la divisió per zero no està definida

• Aquest procediment matemàtic és utilitzat amb freqüència en moltes demostracions matemàtiques, ja que qualsevol expressió que sigui multiplicada per 1 no altera el seu valor. Així doncs, pot crear-se una fracció equivalent a un que ens sigui útil a la nostra demostració. veure exemple 1 .

(Una funció semblant compleix l'element neutre additiu del nombres reals, ja que en sumar zero tampoc s'altera l'expressió).

• Un altre exemple molt conegut és el d'utilitzar aquesta propietat en la racionalització de fraccions, on es fa servir la propietat de l'element neutre multiplicatiu per treure ^[3] l'arrel inexacta d'un nombre real del denominador. veure exemple 2.

• També s'usa per comparar fraccions. Aquí també és vàlida la simplificació, que en el fons és el mateix, ja que fa ús de les mateixes propietats i procediments. veure exemple 3 .

Exemple 1

• Demostreu que:

${\displaystyle \tan {(x-y)}={\frac {\tan {(x)}-\tan {(y)}}{1+\tan {(x)}\tan {(y)}}}}$.

Demostració:

${\displaystyle \tan {(x-y)}={\frac {\sin {(x-y)}}{\cos {(x-y)}}}}$

${\displaystyle \tan {(x-y)}={\frac {\sin {(x)}\cos {(y)}-\sin {(y)}\cos {(x)}}{\cos {(x)}\cos {(y)}+\sin {(x)}\sin {(i)}}}}$

Multiplicant per 1 la part dreta de la identitat, hem de:

${\displaystyle \tan {(x-y)}={\frac {\sin {(x)}\cos {(y)}-\sin {(y)}\cos {(x)}}{\cos {(x)}\cos {(y)}+\sin {(x)}\sin {(y)}}}{\frac {\frac {1}{\cos {(x)}\cos {(y)}}}{\frac {1}{\cos {(x)}\cos {(i)}}}}}$

Després,

${\displaystyle \tan {(x-y)}={\frac {\tan {(x)}-\tan {(y)}}{1+\tan {(x)}\tan {(y)}}}}$.

Que és el que volíem demostrar.

Noteu que aquest procediment és vàlid només si el producte de les tangents de xiy són diferents de menys un.

Exemple 2

• Racionalitzar l'expressió següent:

${\displaystyle Z={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

Multiplicant per un tenim:

${\displaystyle Z={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}}$

Després,

${\displaystyle Z={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

O també en el cas següent:

• Racionalitzar l'expressió:

${\displaystyle Z={\frac {1}{5-{\sqrt {2}}}}}$

Multiplicant pel conjugat de z dividit en si mateix tenim.

${\displaystyle Z={\frac {1}{5-{\sqrt {2}}}}{\frac {\bar {z}}{\bar {z}}}}$

${\displaystyle Z={\frac {1}{5-{\sqrt {2}}}}{\frac {5+{\sqrt {2}}}{5+{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle Z={\frac {5+{\sqrt {2}}}{25-2}}}$

${\displaystyle Z={\frac {5+{\sqrt {2}}}{23}}}$.

Exemple 3

L'amplificació pot usar-se, entre altres coses, per saber quina és la més gran de dues fraccions amb diferent denominador (amplificant la fracció de menor denominador fins a trobar una fracció de la mateixa denominador a l'altra i comparant després els numeradors).

Si es vol saber quina fracció és major:

${\displaystyle {\frac {1}{3}};{\frac {2}{5}}}$

Amplificar la primera per cinc cinquens i la segunta per tres terços:

És a dir,

${\displaystyle {\frac {1\cdot 5}{3\cdot 5}}={\frac {5}{15}}}$

${\displaystyle {\frac {2\cdot 3}{5\cdot 3}}={\frac {6}{15}}}$

La idea és que totes dues tinguin el mateix denominador, així, es comparen els numeradors i es decideix quin és més gran.

podent d'aquesta manera comparar les fraccions:

${\displaystyle {\frac {5}{15}}<{\frac {6}{15}}}$

i establir finalment la relació:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}}$

Exemple 4

També es fa servir aquest procediment per sumar fraccions (sumes i restes)

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {1\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}}$

${\displaystyle {\frac {3}{12}}+{\frac {8}{12}}={\frac {11}{12}}}$

En matemàtiques es coneix com a simplificació o reducció de fraccions a l'acció de dividir numerador i denominador d'una fracció per un mateix nombre amb l'objectiu d'obtenir una fracció equivalent .

Exemple:

La fracció 2/4 pot simplificar dividint 2:2 = 1 i 4:2 = 2, de manera que s'obté la fracció 1/2 (2/4 = 1/2). Aquella fracció que no pot ser simplificada rep el nom de fracció irreduïble . Una fracció és irreduïble quan, tant numerador com a denominador són relativament primers, és sigui que no tenen cap divisor comú. Es pot dividir pel qual es pugui per obtenir la fracció corresponent.