В математиката, физиката и инженерните науки имагинерната единица се означава с ${\displaystyle i\,}$ или латинското ${\displaystyle j\,}$ или гръцката буква (ι) (Виж алтернативните означения по-долу). Тя позволява системата на реалните числа, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, да бъде разширена до системата на комплексните числа, ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Точната дефиниция на термина зависи от специфичния метод на разширение.

Главното основание за това разширение е фактът, че не всяко полиномиално уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ има реални решения. Например, уравнението ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ няма реално решение (виж „Определение“ по-долу). Въпреки това, ако приемем комплексните числа за приемливи решения, всяко полиномиално уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ има решение. (Виж затвореност.)

За историята на имагинерната единица виж история на комплексните числа.

По определение, имегинерната единица ${\displaystyle i}$ е едното решение (от две възможни) на квадратното уравнение

${\displaystyle x^{2}+1=0\ }$

или съответно

${\displaystyle x^{2}=-1\ }$.

Доколкото не съществува реално число, което дава отрицателно реално число след като бъде повдигнато на квадрат, ние си въобразяваме (imagine) такова число и го означаваме със символа i. Дефиницията на i, макар и по-малко „интуитивна“ от тази на реалните числа, е коректна от математическа гледна точка.

Действията с реални числа могат да бъдат разширени до действия с имагинерни и комплексни числа, приемайки i като неизвестна количествена величина, докато обработваме израза, и след това, използвайки определението, да заместим на всички места, на които се появява i ² с −1. По-високите степени на ${\displaystyle i}$ също могат да бъдат заместени с −i, 1, ${\displaystyle i}$, или −1:

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,}$

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,}$

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,}$

Доколкото е полином (многочлен) от втора степен, а дискриминантата му е различно от нула (т.е. няма повтарящи се корени), горното уравнение има две различни решения, които са еднакво валидни, а в конкретния случай и взаимно инверсни както адитивно, така и мултипликативно. По-точно, ако едното решение на уравнението сме означили с ${\displaystyle i}$, стойността −${\displaystyle i}$ (която не е равна на ${\displaystyle i}$) също е негово решение. Доколкото уравнението е единственото определение на ${\displaystyle i}$, излиза, че определението ни е двусмислено (по точно, не добре дефинирано). Въпреки това, ако изберем едното от решенията за „положително ${\displaystyle i}$", ние не получаваме противоречащи си един на друг резултати. Това е така, защото въпреки че −${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle i}$ не са количествено еквивалентни (те са отрицателни едно по отношение на друго), няма качествена разлика между ${\displaystyle i}$ и −${\displaystyle i}$ (което не може да бъде казано за −1 и +1). Двете имагинерни единици имат еднакво основание да бъдат числото, чийто квадрат е −1. Ако всички публикации и учебници по математика, свързани с имагинерните или комплексните числа, бъдат пренаписани, като на всяко място, където се появява −${\displaystyle i}$, се замести с +${\displaystyle i}$ (и следователно на всяко място, където се появява −${\displaystyle i}$, се замести с −(−${\displaystyle i}$) = +${\displaystyle i}$), всички математически факти и теореми ще продължат да бъдат еднакво валидни. Разграничаването на двата корена ${\displaystyle x}$ в уравнението ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ с означаването на единия от тях като „положителен“ е артефакт изключително на нотацията; за нито един от двата корена не може да се каже, че е по-първостепенен или фундаментален от другия.

Този резултат крие някои тънкости. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че въпреки че комплексното поле, определено като R[X]/ (X² + 1), (виж комплексно число) е еднозначно до степен на изоморфизъм, то не е еднозначно до степен на еднозначен изоморфизъм – съществуват точно 2 автоморфизма на R[X]/ (X² + 1), идентичността и автоморфизмът, изобразяващ X като −X. (Това не са единствените автоморфизми в полето C, но са единствените, които съхраняват стойностите на всички реални числа фиксирани.) Виж комплексно число, комплексно спрягане, автоморфизъм, и група на Галоа.

Подобни резултати се получават и ако комплексните числа се интерпретират като 2 × 2 реални матрици (виж комплексно число), защото тогава както

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}$

така и

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}}$

са решения на матричното уравнение

${\displaystyle X^{2}=-I\ }$.

В този случай двусмисленият резултат произтича от геометричния избор в коя „посока“ около единичната окръжност е „положителната“ ротация. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че групата на автоморфизъм на SO (2, R) има точно 2 елемента – идентичността и автоморфизмът, който преобразува ротацията по часовниковата стрелка в ротация срещу часовниковата стрелка, и обратно.

Всички тези противоречия могат да бъдат решени чрез избор на по-строга дефиниция на комплексните числа, и експлицитно избирайки едно от решенията на уравнението за имагинерна единица.

Имагинерната единица понякога бива означавана като ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$; при всички случаи трябва да се подхожда голямо внимание при преобразуване на формули, които съдържат радикали. Нотацията е запазена единствено за квадратния корен като функция, дефинирана единствено за реални числа ${\displaystyle x}$ ≥ 0. Опитът да се приложат правилата за преобразуване на математически изрази, които съдържат реалната функция корен квадратен, към математически изрази, които съдържат комплексната функция корен квадратен, ще доведе до погрешен резултат:

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$ (погрешно)

Правилото

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$

е валидно само за реални, неотрицателни стойности на ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

За да се избегнат подобни грешки, когато се извършват действия с комплексни числа, стратегията е никога да не се употребява отрицателно число под знака за квадратен корен. Вместо да се запише израз от вида ${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$ например, прецизният запис налага да запишем ${\displaystyle i{\sqrt {7}}}$. Това е и причината, поради която е въведена имагинерната единица.

Може да предположим, че ще се наложи да разширим множеството на имагинерните числа, за да въведем квадратния корен от i. Това обаче не е необходимо и той може да бъде записан като което и да е от две комплексни числа ^[1]:

${\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)}$

Това лесно може да бъде доказано:

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\right)^{2}\ }$	${\displaystyle =\left(\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ }$
	${\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {1}{2}}(1+i)(1+i)\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}+i-{\frac {1}{2}}\ }$
	${\displaystyle =i\ }$

Степените на ${\displaystyle i}$ се повтарят циклично:

${\displaystyle i^{4n}=1\,}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i\,}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i\,}$

В случая n е произволно избрано цяло число.

Оттук следва изводът, че

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,}$.

Формулата на Ойлер гласи:

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}$,

където x е реално число. Формулата може също да бъде аналитично разширена за комплексни x.

Замествайки ${\displaystyle x=\pi }$, получаваме

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+i0\,}$

и достигаме до елегантното тъждество на Ойлер:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}$.

Това забележително просто равенство свързва пет важни математически величини (0, 1, π, e, чрез i) чрез основните действие сумиране, умножение и повдигане на степен.

Заместването на ${\displaystyle x=\pi /2-2N\pi ,}$, където N е произволно избрано цяло число, дава

${\displaystyle e^{i(\pi /2-2N\pi )}=i\,}$

Или, повдигайки всяка от страните на степен ${\displaystyle i}$,

${\displaystyle e^{ii(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,}$

или

${\displaystyle e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,}$,

което показва, че ${\displaystyle i^{i}\,}$ има безкраен брой елементи от вида

${\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}\,}$

където N е произволно цяло число. Тази реална стойност, въпреки че е реална, не е еднозначно определена. Причината за това се съдържа във факта, че комплексният логаритъм е функция, която има много значения.

Много математически операции, които магат да бъдат извършени с реалните числа, могат да бъдат извършени също с ${\displaystyle i}$, като повдигане на степен, коренуване, логаритмуване и тригонометрични функции.

Число, повдигнато на степен ${\displaystyle ni}$, дава:

${\displaystyle \!\ x^{ni}=\cos(\ln(x^{n}))+i\sin(\ln(x^{n}))}$

Корен ${\displaystyle ni}$^ти от число е:

${\displaystyle \!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))-i\sin(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))}$

Логаритъм при основа ${\displaystyle i}$ от число е:

${\displaystyle \log _{i}(x)={{2\ln(x)} \over i\pi }}$

Косинусът на ${\displaystyle i}$ е реално число:

${\displaystyle \cos(i)=\cosh(1)={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}=1.54308064}$

Синусът на ${\displaystyle i}$ е имагинерен:

${\displaystyle \sin(i)=\sinh(1)\,i={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i=1.17520119\,i}$

• В електроинженерните науки и свързаните с тях области имагинерната единица често се записва като ${\displaystyle j\,}$ за да се избегне объркване с електрическия ток като функция от времето, по традиция означаван с ${\displaystyle i(t)\,}$ или просто ${\displaystyle i.\,}$ Програмният език Python също използва j за означаване на имагинерната единица, докато в Matlab и двете означения i и j са свързани с имагинерната единица.
• По-внимателен подход изискват и някои учебници, където по дефиниция j = −i, в часност при случаите с разпространение на вълна (напр. плоска вълна, разпространяваща се надясно в направление x ${\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}\,}$).
• Някои текстове използват гръцката буква йота (ι) за означаване на имагинерната единиза с цел да се избегне объркване.

• Имагинерно число
• Комплексна равнина

• ((en)) Трудът на Ойлер върху имагинерните корени на полиномите

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Imaginary unit в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​