Хайнрих III фон Текленбург (на немски: Heinrich III von Tecklenburg; * ок. 1217; † 25 юли1247) е граф на Текленбург като съ-регент, граф на Вехта-Влото и фогт на Метелен.
Хайнрих III умира на 25 юли 1247 г. Вдовицата му Юта фон Равенсберг се омъжва втори път през 1250/1251 г. за Валрам III, господар на Моншау († 1266). През 1252 г. те, заедно с майка ѝ София фон Олденбург, продават Емсланд и Вехта за 40 000 марки на епископОто II фон Мюнстер († 1259). Освен това тя подарява подаръците си от първия брак на епископството.[4]
Наследници на Текленбург са сестрите му Елизабет (1222 – 1268), омъжена за Хайнрих IV фон Олденбург-Вилдесхаузен (1205 – 1271), и сестра му Хайлвиг фон Текленбург (1219 – 1264), омъжена пр. 1232 г. за граф Ото II фон Бентхайм-Текленбург (1205 – 1279), майка на граф Ото III фон Текленбург (1253 – 1285).