Коста Групчев е роден през 1848 година в град Охрид, тогава в Османската империя. Принадлежи към големия род Групчеви (Групче). Син е на възрожденеца Ангел Групчев, близък съратник на Григор Пърличев, и на Катерина Групчева и е най-малък от седем деца. Учи при Григор Пърличев на гръцки. На 16 години заминава за Румъния, после е във Виена, но през Триест се връща в Османската империя. Занимава се със сладкарство заедно с брат си. В 1885 година напуска Охрид и става студент в Софийския университет и членува в ученическото просветно дружество „Свети Климент“. Същата година заедно с Наум Евров, Темко Попов и Васил Карайовов създават Тайния македонски комитет. През 1886 година пак те основават Дружество на сърбомакедонците в Цариград. През август 1886 година в Белград се среща с Милутин Гарашанин, от когото получава инструкции за борба с българщината в Македония. На път за Цариград е арестуван от българските власти като руски шпионин и три месеца е затворен в Стара Загора. След натиск от сръбския и руския посланици е освободен, но срещу подписка. През април 1887 година от Пловдив заминава за София и през Румъния бяга в Цариград и се поставя на разположение на Стоян Новакович. Групчев е един от най-активните сръбски дейци в Цариград, чест посетител на сръбското посолство и с голям принос за изкарването на двата берата за сръбски владици в Македония. Опитва се неуспешно да издейства издаването на македонистки вестник „Македонски глас“ (1887) и превежда буквар на македонски диалект, който остава в ръкопис (1888). От август 1892 година ръководи цариградската Централна сръбска книжарница за снабдяване на сръбските книжари в Турция. В 1892 – 1893 година преподава гръцки език в Цариградската сръбска гимназия и работи като преводач от гръцки в сръбското посолство (1894). Между 1895 – 1907 година Коста Групчев е администратор на седмичния вестник „Цариградски гласник“, орган на сръбското дипломатическо представителство, а от 1897 година негов директор.[2] Пише „За Охрид и Охридското езеро“.[3] Носител е на сръбските ордените „Свети Сава“, „Кръст на Божи гроб“, Данилов орден и на турския „Меджидие“ III степен (1897). Женен е за Ефросина (Фроса) Гаврилова, дещеря на поп Анастас Гаврилов. Синът им Димитрие Групчевич (1884 - 1942) е чиновник в сръбското външно министерство.[4][5]