Първоначално се образова у дома от чичо си Леман, който го обучава на класически езици и елементи от математиката. През 1816 г. на 12-годишна възраст постъпва в гимназия, където учениците изучават класически езици, немска история и математика. В резултат на доброто образование, което е получил от чичо си, както и на собствените си забележителни умения, след по-малко от половин година Якоби е преместен в по-висок клас. Въпреки това, тъй като университетът не приема студенти по-млади от 16 години му се налага да остане в училище до 1821 г. Използва времето си да трупа знания, проявявайки интерес във всички предмети, включително латински и гръцки език, филология, история и математика. През този период той прави и първите си опити в изследванията, опитвайки се да реши квинтичното уравнение чрез радикали.[2]
Портрет на Карл Густав Якоб Якоби
През 1821 г. Якоби отива да учи в Берлинския университет, където първоначално разделя вниманието си между страстта му по филологията и математиката. По филология участва в семинарите на Август Бьок, привличайки вниманието на професора с таланта си. Якоби не следва много математически лекции в университета, тъй като ниското ниво на математиката в Германия по това време я прави твърде елементарна за него. Въпреки това той продължава личните си изследвания на по-напредналите трудове на Ойлер, Лагранж и Лаплас. Към 1823 г. той разбира, че трябва да избира между съревноваващите му се интереси и той решава да насочи цялото си внимание към математиката.[3] През същата година той се квалифицира да преподава в средни училища и му е предложена позиция в гимназия в Берлин. Якоби обаче решава да продължи работата си в посока получаване на позиция в университет. През 1825 г. той придобива докторска степен с дисертация на тема Частично разлагане на дроби на рационални функции, която защитава пред комисия, водена от холандеца Ено Дирксен. Малко след това е хабилитиран и по същото време приема християнството.
Вече квалифициран да преподава в университет, 21-годишният Якоби изнася лекции през 1825 – 1826 г. за теорията на кривите и повърхностите, в Берлинския университет.[3][4] През 1827 г. става професор, а през 1829 е вече професор по математика в Кьонигсбергския университет и заема тази длъжност до 1842 г.
Якоби претърпява нервен срив от прекомерна работа през 1843 г. Тогава посещава Италия за няколко месеца, за да се възстанови. На връщане се установява в Берлин, където живее като кралски пенсионер до края на живота си. По време на революциите от 1848 г. Якоби е политически ангажиран и неуспешно представя парламентарната си кандидатура от името на либерлания клуб. Това води след потушаването на революцията до отрязване на кралската му премия, но известността и репутацията му са такива, че скоро след това премията му е възстановена. През 1836 г. той е избран за чуждестранен член на Шведската кралска академия на науките.
Умира в Берлин на 18 февруари1851 г. от инфекция, причинена от едра шарка. Гробът му е запазен на гробището в Кройцберг, Берлин. Гробът му е близо до този на астронома Йохан Енке.
Особената сила на Якоби лежи главно в алгебричното развиване и по този начин той допринася по много начини към много подобласти на математиката, за което засвидетелства дългият му списък от трудове в списанието „Креле“ и другаде след 1826 г. Една от максимите му гласи: „Човек винаги трябва да обръща“ (Man muss immer umkehren), което изразява вярването му, че решението на много от трудните проблеми може да се изясни чрез повторното им изразяване в обратна форма.
В труда си от 1835 г. Якоби доказва, че ако непроменлива едностойностна функция е множествено периодична, тогава тя не може да има повече от два периода, а съотношението на периодите не може да е реално число. Той открива много от фундаменталните свойства на тета-функциите, включително функционалното уравнение и формулата за тройно произведение на Якоби, както и много други резултати относно q-символа на Покхамер и хипергеометричните функции.
Решението на обратния проблем на Якоби за хиперелиптичната карта на Абел през 1854 г. изисква въвеждането на хиперелиптична тета-функция, а по-късно и общата Риманова тета-функция за алгебрични криви от произволен род. Комплексният тор, свързан с алгебрична крива от род , получен чрез коефициране на чрез решетка от периодите, се нарича множество на Якоби. Този метод за обръщане и последвалото му разширение от Вайерщрас и Риман към произволни алгебрични криви, може да се разгледа като обобщение от по-висок род на връзката между елиптични интеграли и елиптичните функции на Якоби или Вайерщрас.
Той е един от ранните основатели на теорията на детерминантите. В частност той измисля матрицата на Якоби (и съответната ѝ детерминанта), образувана от n² диференциални коефициенти на n дадени функции с n независими променливи, което играе важна роля в много аналитични изследвания. През 1841 г. той въвежда повторно ∂ нотацията на частната производна на Льожандър, която днес е стандартна.
Планетарната теория и други особени динамични проблеми също привличат вниманието на Якоби от време на време. Докато допринася за небесната механика, той въвежда интеграла на Якоби (1836) за звездна координатна система. Теорията му за последния множител се развива в труда му „Vorlesungen über Dynamik“. Той остава след себе си множество ръкописи, части от които се публикуват периодично в списанието „Креле“.
Jacobi, Carl Gustav Jacob. Vorlesungen über Zahlentheorie---Wintersemester 1836/37, Königsberg. Т. 62. Dr. Erwin Rauner Verlag, Augsburg, 2007, [1836]. ISBN 978-3-936905-25-0.
Jacobi, Carl Gustav Jacob. Jacobi's lectures on dynamics. Т. 51. New Delhi, Hindustan Book Agency, 2009, [1866]. ISBN 9788185931913.
