Яўген Чумак нарадзіўся ў Глухіўцах, Вінніцкая вобласць. Ва ўзросце 6 гадоў бацька адвёз Яўгена ў Кіеў, дзе ён пачаў займацца футболам у ДЮФШ «Дынама» пад кіраўніцтвам Аляксандра Шпакава. Пасля некалькіх гадоў выступаў у атацы, трэнеры вырашылі перавесці Чумака на пазіцыю флангавага паўабаронцы, а ва ўзросце 14 гадоў адправілі яго бліжэй да цэнтра поля. За некалькі гадоў да выпуску з акадэміі Яўген перайшоў у шэрагі сталічнага РВВФК, дзе трэніраваўся пад кіраўніцтвам Аляксандра Каліны і Дзмітрыя Сямчука.
У 2012 годзе Чумак вярнуўся ў сістэму кіеўскага «Дынама», стаўшы адным з ключавых ігракоў юнацкай каманды Валянціна Бялькевіча, якая атрымала залатыя ўзнагароды першынства Украіны да 19 гадоў. Тады ж Яўгена сталі прыцягваць у моладзевую каманду «Дынама». На працягу наступнага сезона ён стаў адным з ключавых ігракоў дынамаўскага дубля.
26 лютага 2015 года Яўген Чумак дэбютаваў у складзе першай каманды «Дынама», з’явіўшыся на поле ў матчы Лігі Еўропы 2014/15 супраць французскага «Генгама». 1 сакавіка таго ж года ён дэбютаваў у складзе каманды ў розыгрышы ўкраінскай Прэм’ер-лігі, адзначыўшыся забітым мячом у браму харкаўскага «Металіста» ўжо праз 10 хвілін пасля з’яўлення на полі.
У пачатку сезона 2015/16 перайшоў на правах арэнды у склад ужгарадскай «Гаверлы». У сакавіку 2016 года далучыўся да «Дынама-2»[3], але неўзабаве апынуўся ў складзе беларускага клуба «Тарпеда-БелАЗ»[4], дзе стаў трывалым іграком асновы. У чэрвені 2016 года пакінуў жодзінскі клуб[5].
У ліпені 2016 года быў аддадзены ў арэнду «Зорцы» з Крапыўныцкага[6], аднак ужо ў жніўні пакінуў каманду. У верасні 2016 года падпісаў двухгадовы кантракт з львоўскімі «Карпатамі», але ў студзені 2017 года пакінуў каманду.
У сакавіку 2017 года прыбыў на прагляд у магілёўскі «Дняпро» і ў выніку падпісаў кантракт[7]. У складзе магілёўскага клуба стаў трывалым іграком асновы, у 14 матчах адзначыўся трыма галамі. У ліпені 2017 года «Дняпро» па пагадненні бакоў разарваў кантракт з паўабаронцам[8].
У другой палове 2017 года заставаўся без клуба, а ў сакавіку 2018 года стаў іграком чарнігаўскай «Дзясны»[9]. Дапамог «Дзясне» выйсці ў Прэм’ер-лігу, пасля чаго ў ліпені 2018 года пакінуў каманду.
У пачатку 2019 года далучыўся да грузінскага клуба «Шэвардэні-1906», а ў ліпені таго ж года перайшоў ва ўзбекскі «Бунёдкар». У 2020—2021 гадах выступаў за ўзбекскі «Металург» з Бекабада, а ў ліпені 2021 года стаў іграком казахстанскага «Турана» з Туркестана. У студзені 2022 года зноў адправіўся ва Узбекістан, далучыўшыся да самаркандскага «Дынама», гуляў там да канца 2022 года. У ліпені 2023 года папоўніў склад «Арыса» з Першай лігі Казахстана, аднак ужо ў жніўні пакінуў каманду.
Міжнародная кар’ера
У 2012 годзе пачаў прыцягвацца да матчаў юнацкай зборнай Украіны. Прымаў удзел у юніёрскім чэмпіянаце Еўропы 2014, які адбыўся ў Венгрыі. Украінская каманда не змагла выйсці з групы, прайграўшы толькі будучым трыумфатарам спаборніцтваў — зборнай Германіі, а сам Чумак з’яўляўся на поле ва ўсіх трох паядынках зборнай, занёсшы ў свой пасіў адну жоўтую картку.