Ураджэнец горада Сушыцы, Пекгарт навучаўся футболу ў школе гарадской каманды «Сушыцы», а таксама выступаў за клуб «Клатаві». У 2003 годзе ён паступіў у акадэмію пражскай «Славіі», у якой навучаўся да 2006 года. Летам 2006 года ён адправіўся ў Англію на стажыроўку ў акадэмію каманды «Тотэнхэм Хотспур»[4]. Выступаючы за каманду акадэміі, Томаш правёў 20 гульняў, забіўшы 19 мячоў. У рэзервовай камандзе ён правёў 12 гульняў, але з-за траўмы выбыў са строю. Адзін з яго галоў стаў пераможным у матчы супраць «Ланса» ў лістападзе 2006 года.
У жніўні 2008 года Пекгарт падпісаў кантракт з «Саўтгемптанам», клубам з Футбольнай лігі Англіі. Паводле гэтага дагавора, аднак, ігрок выступаў на правах арэнды да студзеня 2009 года[5]. 14 верасня 2008 года Томаш дэбютаваў у складзе «Саўтгемптана», выйшаўшы на замену ў матчы супраць «Куінз Парк Рэйнджэрс», які яго каманда прайграла з лікам 4:1[6]. Першы гол ён забіў у гульні супраць «Іпсвіч Таўн», давёўшы выніковы лік да 2:2. У склад «шпор» ён вярнуўся ў студзені 2009 года і зноў на правах арэнды адправіўся гуляць у іншы клуб, на гэты раз у родную «Славію», падпісаўшы з ёй кантракт тэрмінам на год у самы апошні дзень трансфернага акна.
12 студзеня 2010 года клуб «Баўміт» падпісаў кантракт з Томашам на тры з паловай гады. Сума, выплачаная за пераход іграка, не выдавалася. Праз паўгода Томаш адправіўся ў «Спарту» на правах арэнды.
З 1 ліпеня 2011 года Томаш з’яўляўся іграком нямецкага клуба «Нюрнберг». 28 жніўня 2014 года ігрок падпісаў трохгадовы кантракт з нямецкім клубам «Інгальштат 04», які выступаў у Бундэслізе 2[7]. У сезоне 2014/15 разам з «Інгальштатам» выйграў Другую Бундэслігу. У лютым 2016 года перайшоў у грэчаскі АЕК.
У ліпені 2017 года далучыўся да дзейнага чэмпіёна Ізраіля — клуба «Хапаэль» з Беэр-Шэвы. У жніўні 2018 года перайшоў у клуб іспанскай Сегунды «Лас-Пальмас», а ў лютым 2020 года падпісаў кантракт з варшаўскай «Легіяй», разам з якой двойчы стаў чэмпіёнам Польшчы. У жніўні 2022 года падпісаў двухгадовы кантракт з турэцкім «Газіянтэпам», аднак ужо ў лістападзе пакінуў клуб, а ў студзені 2023 года вярнуўся ў «Легію».
