في الرياضيات ، الجُدَاءُ (بالإنجليزية : Product ) هو نتيجةُ عمليةِ ضربِ كميتينِ .[ 1] [ 2] [ 3] الأعداد الحقيقية أو العقدية في عملية الضرب ليس له تأثير على قيمة الجداء. هذه الخاصية تعني أن عملية الضرب هي عملية تبديلية .
3 في 4 تساوي 12 وضع عدد من الكرات على شكل مستطيل عدد أسطره
r
{\displaystyle r}
s
{\displaystyle s}
r
⋅ ⋅ -->
s
=
∑ ∑ -->
i
=
1
s
r
=
∑ ∑ -->
j
=
1
r
s
{\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\sum _{j=1}^{r}s}
كرة.
⋅ ⋅ -->
− − -->
+
− − -->
+
− − -->
+
− − -->
+
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}}
وبتعبير آخر:
جداء عددين سالبين يساوي عددا موجبا.
جداء عدد سالب وعدد موجب يساوي عددا سالبا.
جداء عدد موجب وعدد سالب يساوي عدد سالبا.
جداء عددين موجبين يساوي عددا موجبا.
جداء كسرين هو كسر بسطه يساوي جداء بسط الكسرين ومقامه يساوي جداء مقام الكسرين، كما تبين ذلك الصيغة التالية:
z
n
⋅ ⋅ -->
z
′
n
′
=
z
⋅ ⋅ -->
z
′
n
⋅ ⋅ -->
n
′
{\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}}
يحسب جداء عددين عقديين باستعمال قانون التوزيعية وبعلم كون
i
2
=
− − -->
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
(
a
+
b
i
)
⋅ ⋅ -->
(
c
+
d
i
)
=
a
⋅ ⋅ -->
c
+
a
⋅ ⋅ -->
d
i
+
b
⋅ ⋅ -->
c
i
+
b
⋅ ⋅ -->
d
⋅ ⋅ -->
i
2
=
(
a
⋅ ⋅ -->
c
− − -->
b
⋅ ⋅ -->
d
)
+
(
a
⋅ ⋅ -->
d
+
b
⋅ ⋅ -->
c
)
i
{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,\mathrm {i} )\cdot (c+d\,\mathrm {i} )&=a\cdot c+a\cdot d\,\mathrm {i} +b\cdot c\,\mathrm {i} +b\cdot d\cdot \mathrm {i} ^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} \end{aligned}}}
عدد عقدي في تمثيله القطبي. يمكن أن تكتب الأعداد العقدية في النظام الإحداثي القطبي كما يلي:
a
+
b
i
=
r
⋅ ⋅ -->
(
cos
-->
(
φ φ -->
)
+
i
sin
-->
(
φ φ -->
)
)
=
r
⋅ ⋅ -->
e
i
φ φ -->
{\displaystyle a+b\,\mathrm {i} =r\cdot (\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}
وبالإضافة إلى ذلك،
c
+
d
i
=
s
⋅ ⋅ -->
(
cos
-->
(
ψ ψ -->
)
+
i
sin
-->
(
ψ ψ -->
)
)
=
s
⋅ ⋅ -->
e
i
ψ ψ -->
{\displaystyle c+d\,\mathrm {i} =s\cdot (\cos(\psi )+\mathrm {i} \sin(\psi ))=s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }}
(
a
⋅ ⋅ -->
c
− − -->
b
⋅ ⋅ -->
d
)
+
(
a
⋅ ⋅ -->
d
+
b
⋅ ⋅ -->
c
)
i
=
r
⋅ ⋅ -->
s
⋅ ⋅ -->
(
cos
-->
(
φ φ -->
+
ψ ψ -->
)
+
i
sin
-->
(
φ φ -->
+
ψ ψ -->
)
)
=
r
⋅ ⋅ -->
s
⋅ ⋅ -->
e
i
(
φ φ -->
+
ψ ψ -->
)
{\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} =r\cdot s\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \sin(\varphi +\psi ))=r\cdot s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}}
المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين هو جداء معياريهما وجمع عمدتيهما .
جداء قياسي هو تطبيق ثنائي الخطية:
⋅ ⋅ -->
:
V
× × -->
V
→ → -->
R
{\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }
بالشروط التالية،
v
⋅ ⋅ -->
v
>
0
{\displaystyle v\cdot v>0}
0
≠
v
∈ ∈ -->
V
{\displaystyle 0\not =v\in V}
من الجداء القياسي، يمكننا تحديد معيار بجعل
‖ ‖ -->
v
‖ ‖ -->
:=
v
⋅ ⋅ -->
v
{\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}
الجداء القياسي يمكن أيضا من تعريف الزاوية المحصورة بين متجهتين كما يلي:
cos
-->
∠ ∠ -->
(
v
,
w
)
=
v
⋅ ⋅ -->
w
‖ ‖ -->
v
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
w
‖ ‖ -->
{\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}
في فضاء إقليدي بُعده
n
{\displaystyle n}
جداءا قياسيا ) يعطى بالصيغة التالية:
(
∑ ∑ -->
i
=
1
n
α α -->
i
e
i
)
⋅ ⋅ -->
(
∑ ∑ -->
i
=
1
n
β β -->
i
e
i
)
=
∑ ∑ -->
i
=
1
n
α α -->
i
β β -->
i
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}
لتكن المصفوفتين
A
=
(
a
i
,
j
)
i
=
1
… … -->
s
;
j
=
1
… … -->
r
∈ ∈ -->
R
s
× × -->
r
{\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}}
B
=
(
b
j
,
k
)
j
=
1
… … -->
r
;
k
=
1
… … -->
t
∈ ∈ -->
R
r
× × -->
t
{\displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}}
جذاؤهما هو:
B
⋅ ⋅ -->
A
=
(
∑ ∑ -->
j
=
1
r
a
i
,
j
⋅ ⋅ -->
b
j
,
k
)
i
=
1
… … -->
s
;
k
=
1
… … -->
t
∈ ∈ -->
R
s
× × -->
t
{\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}}
يرمز إلى الجداء الخاص بجداء متتالية بواسطة الحرف اليوناني الكبير پي
∏ ∏ -->
{\displaystyle \prod }
سيغما
∑ ∑ -->
{\displaystyle \sum }
للمجموع ). جداء متتالية يتكون من رقم واحد هو فقط الرقم نفسه. يُعرف الجداء بدون أي عامل بالجداء الخالي [الإنجليزية]
مثال على جداء المتتالية:
∏ ∏ -->
i
=
1
N
u
i
=
u
1
× × -->
u
2
× × -->
⋯ ⋯ -->
× × -->
u
N
{\displaystyle \prod _{i=1}^{N}u_{i}=u_{1}\times u_{2}\times \cdots \times u_{N}}
هناك العديد من أنواع الجداءات الأخرى اللائي يدرسن في الرياضيات:
