في نظرية الأعداد، مبرهنة الأعداد الأولية (بالإنكليزية: Prime number theorem) هي نتيجة تهم كثافة توزيع الأعداد الأولية.^[1][2] حيث صاغت في شكل رياضي مُحْكّم الفكرة القائلة بأن الأعداد الأولية تصبح نادرة كلما تقدمنا في خط الأعداد، عن طريق تحليل تقارب الدالة المعدة للأعداد الأولية بتعبيرات معينة. جاء بالبرهان على هذه المبرهنة كل من العالمين الفرنسي جاك هادامار والبلجيكي شارل جون دو لا فالي بوسان في عام 1896، ممددين بذلك أفكارا أبدعهن عالم الرياضيات الألماني ريمان (خصوصا فيما يتعلق بدالة زيتا لريمان).

نعرف لكل عدد حقيقي موجب ${\displaystyle x}$، ${\displaystyle \pi (x)}$ الدالةَ المعدةَ للأعداد الأولية الأصغر من ${\displaystyle x}$. مبرهنة الأعداد الأولية هي كالآتي:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}=1}$

باستخدام الرمز ${\displaystyle \sim }$ يمكن التعبير عن هذه المبرهنة كالآتي:

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}}$

حيث ${\displaystyle \ln(x)}$هو اللوغارتم الطبيعي ; بالنسبة ل ${\displaystyle \sim }$, انظر مفهوم لاندو.

حدس عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1797 أو 1798 أن ${\displaystyle \pi (a)}$ تقترب من الدالة ${\displaystyle {\frac {a}{A\log a+B}}}$ حيث ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ هم ثوابت غير محددة. اعتمد في ذلك على لوائح أقامهن العالمان أنتون فيلكل ويوري فيغا. في الطبعة الثانية لكتابه حول نظرية الأعداد نشرت عام 1808، أعطى ليجاندر حدسية أكثر دقة حيث A = 1 و B = −1.08366.

نشر عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف بين عام 1848 و1850 مقالين، حاول فيهما البرهان على هذه الحدسية. يُذكر عمله هذا نظرا لاحتوائه على دالة ζ(s) مطبقةً على أعداد حقيقية، مقتديا في ذلك بأعمالٍ لليونهارد أويلر قام بهن في عام 1737.

لم يستطع تشيبيشيف البرهان على هذه الحدسية بشكل كامل، ولكنه برهن على شكل ضعيف منها، هو إنه إذا كانت نهاية ${\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x/\log x}}}$ عندما يؤول ${\displaystyle x}$ إلى ما لا نهاية موجودة، فإن هذه النهاية تساوي حتما واحدا.

واحدة من أهم أعمال ريمان هي ورقته التي تتعلق بتوزيع الأعداد الأولية التي نشرت عام 1859، بعنوان «حول عدد الأعداد الأولية الأقل من حجم معين»، وهي الورقة الوحيدة التي كتبها في نظرية الأعداد. قدم ريمان أفكارًا جديدة في هذا الموضوع، خاصة أن توزيع الأعداد الأولية مرتبط ارتباطًا وثيقًا بأصفار دالة زيتا لريمان الموسعة تحليليًا لمتغير مركب. على وجه الخصوص، في هذه الورقة نشأت فكرة تطبيق طرق التحليل المركب لدراسة الدالة ${\displaystyle \pi (x)}$.

رغم أن تشيبيشيف لم يستطع البرهان على مبرهنة الأعداد الأولية، إلا أن أعماله كانت كافية من أجل البرهان على مسلمة بيرتراند والتي تنص على أنه يوجد على الأقل عدد أولي واحد بين عدد ما وضعفه كلما كان هذا العدد أكبر من اثنين.

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

${\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\right)=\sum _{p,n}{\frac {p^{-ns}}{n}}\;.}$

ليكن s = x + iy. إذن:

لاحظ المتطابقة التالية:

${\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0\;,}$

${\displaystyle \left|\zeta (x)^{3}\zeta (x+iy)^{4}\zeta (x+2iy)\right|=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}}\right)\geq 1}$

انظر الجدول:

x	(π(x	π(x) − x / ln x	π(x) / (x / ln x)	(li(x) − π(x	(x/π(x
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
102	25	3.3	1.151	5.1	4.000
103	168	23	1.161	10	5.952
104	1,229	143	1.132	17	8.137
105	9,592	906	1.104	38	10.425
106	78,498	6,116	1.084	130	12.740
107	664,579	44,158	1.071	339	15.047
108	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939
موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت	قالب:OEIS link	قالب:OEIS link		قالب:OEIS link

احسن نتيجة تقريبية، هي تحسين للخطأ، معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {\sqrt {\ln(x)}}{15}}}\right)}$

لقيم كبيرة ل ${\displaystyle x}$ (${\displaystyle {\rm {Li}}}$ هي دالة التكامل اللوغاريتمي).

مبرهنة الأعداد الأولية تعطي معلومات حول العدد الأولي النوني، بحيث:

${\displaystyle p_{n}\sim n\ln(n).}$

كما يمكن استنتاج ان الاحتمالية كون عدد طبيعي n عشوائي عدد أولي هو حوالي ${\displaystyle {\frac {1}{\ln(n)}}}$.

حدست مبرهنةَ الأعداد الأولية عالمُ الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس عام 1792 عندما كان عمره 15 سنة وأدريان ماري ليجاندر عام 1798. وبرهن عليها جاك هادامار وشارل جون دو لا فالي بوسان عام 1896.

البرهان يستخدم بعض طرق التحليل العقدي، وبخاصة دالة زيتا.

بسبب العلاقة الموجودة بين دالة زيتا و${\displaystyle \pi (x)}$, فرضية ريمان ذات اعتبار مهم مبرهنة الأعداد: إذا تم البرهنة عليها، ستعطي احسن تنبؤ بنسبة الخطأ الناتجة عن مبرهنة الأعداد الأولية

هلغ فون كوخ في 1901 بين، بكيفية أدق، إذا كانت فرضية ريمان صحيحة، نسبة الخطأ تتحسن بالصيغة التالية:

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln(x)\right)}$