الجبر التجريدي ، زمرة آبِلِيَّة (بالإنجليزية : Abelian group )،[ 1] [ 2] زمرة تبادلية ، هي زمرة حيث نتيجة تطبيق عملية الزمرة على عنصرين لا يتعلق بالترتيب الذي جاءا به هذان العنصران أثناء تطبيق العملية.[ 3] [ 4] [ 5] عملية تبادلية . سميت هذه الزمر هكذا نسبة إلى نيلس هنريك أبيل .
بُنين على مفهوم الزمر الأبيلية، بنى جبرية أساسية من قبيل الحقول والحلقات والفضاءات الاتجاهية والأجبار .
نظرية الزمر الأبيلية هي عموما أبسط من نظرية الزمر غير الأبيلية . إضف إلى ذلك أن الزمر الأبيلية المنتهية مفهومة ومرتبة بشكل كلي .
زمرة أبيلية هي مجموعة مزودة بعملية "." التي تجمع بين عنصرين اثنين a و b لتكوين عنصر ثالث يرمز إليه ب a.b.
يطلق اسم الزمرة الأبيلية على كل زمرة تبادلية أي أنها زمرة (*, G ) تحقق شرط التبديلية .
الانغلاق : لكل عنصرين
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
A
{\displaystyle A}
a
⋅ ⋅ -->
b
{\displaystyle a\cdot b}
A
{\displaystyle A}
التجميعية
العنصر المحايد
العنصر المقابل
التبادلية
مهما كان a و b في A، فإن a * b = b * a
مجموعة الأعداد الصحيحة مزودةً بعملية الجمع
+
{\displaystyle +}
(
Z
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}
كل زمرة دائرية G هي زمرة أبيلية، لإنه إذا كان x و y عنصرين من G فإن xy = a m a n a m + n a n + m a n a m yx .
كل حلقة هي زمرة أبيلية تحت عملية الجمع التي تعرف هذه الحلقة. في حلقة تبادلية ، تكون العناصر القابلة للعكس زمرة جدائية أبيلية.
سميت الزمر الأبيلية هكذا نسبة لعالم الرياضيات النرويجي نيلس هنريك أبيل من طرف كامي جوردان , لأن أبيل وجد أن كون الزمر الممثلة للمعادلة، تبديلية يعني أن جذور هذه المعادلة قابلة للحلحلة بالجذور .
الزمرة الأبيلية غير المنتهية الأكثر بساطة هي الزمرة الدائرية غير المنتهية Z.
انظر إلى زمرة قابلة للقسمة .
