Dalam teori bilangan, Teorema Wilson menyatakan bahwa bilangan bulat n > 1 adalah bilangan prima jika dan hanya jika perkalian semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari n mempunyai selisih 1 dengan suatu kelipatan dari n. Dengan menggunakan faktorial ${\displaystyle (n-1)!=1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)}$ dan menggunakan notasi aritmetika modular, teorema ini dapat dituliskan sebagai

${\displaystyle (n-1)!\ \equiv \;-1{\pmod {n}}}$

benar jika dan hanya jika n adalah bilangan prima. Dengan bahasa lain, n adalah bilangan prima jika dan hanya jika (n − 1)! + 1 habis dibagi oleh n.^[1]

Teorema ini dinyatakan oleh Ibnu Haitham (sekitar 1000 M),^[2] dan pada abad ke-19 oleh John Wilson.^[3] Edward Waring mengumumkan teorema tersebut pada tahun 1770, walau dia maupun muridnya, Wilson, dapat membuktikannya. Langrage memberikan bukti pertama pada tahun 1771.^[4] Terdapat bukti bahwa Leibniz juga menyadari bukti teorema tersebut satu abad sebelumnya, tetapi ia tidak pernah mempublikasikannya.^[5][6]

Untuk bilangan n dari 2 sampai 30, tabel berikut berisi bilangan (n − 1)! dan sisa pembagiannya dengan n. Warna latar biru digunakan untuk n termasuk bilangan prima, dan emas untuk bilangan komposit.

Tabel faktorial dan sisa pembagiannya dengan ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)!}$ (barisan A000142 pada OEIS)	${\displaystyle (n-1)!\ {\bmod {\ }}n}$ (barisan A061006 pada OEIS)
2	1	1
3	2	2
4	6	2
5	24	4
6	120	0
7	720	6
8	5040	0
9	40320	0
10	362880	0
11	3628800	10
12	39916800	0
13	479001600	12
14	6227020800	0
15	87178291200	0
16	1307674368000	0
17	20922789888000	16
18	355687428096000	0
19	6402373705728000	18
20	121645100408832000	0
21	2432902008176640000	0
22	51090942171709440000	0
23	1124000727777607680000	22
24	25852016738884976640000	0
25	620448401733239439360000	0
26	15511210043330985984000000	0
27	403291461126605635584000000	0
28	10888869450418352160768000000	0
29	304888344611713860501504000000	28
30	8841761993739701954543616000000	0

Semua pembuktian berikut menggunakan fakta bahwa kelas residu modulo bilangan prima adalah suatu lapangan—lihat artikel lapangan prima untuk detailnya. Teorema Lagrange yang menyatakan bahwa setiap lapangan polinomialberderajat n memiliki maksimal n akar, digunakan dalam semua pembuktian.

Jika ${\displaystyle n}$ adalah bilangan komposit, maka ia dapat dibagi dengan suatu bilangan prima ${\displaystyle q}$ yang terletak diantara ${\displaystyle 2\leq q\leq n-2}$. Karena ${\displaystyle q}$ membagi ${\displaystyle n}$, misalkan ${\displaystyle n=qk}$ untuk suatu bilangan bulat ${\displaystyle k}$. Dengan menggunakan kontradiksi, anggaplah ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1\,({\text{mod}}\,n)}$ untuk ${\displaystyle n}$ komposit. Karena ${\displaystyle q}$ adalah faktor dari ${\displaystyle n}$, maka berlaku ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1\,({\text{mod}}\,q)}$. Namun ${\displaystyle q}$ juga faktor dari ${\displaystyle (n-1)!}$, sehingga juga berlaku ${\displaystyle (n-1)!\equiv 0\,({\text{mod}}\,q)}$. Terjadi kontradiksi, dan dapat disimpulkan ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1\,({\text{mod}}\,n)}$ hanya terjadi jika ${\displaystyle n}$ bilangan prima.

Walaupun dapat digunakan sebagai salah satu uji keprimaan, pada praktiknya teorema Wilson tidak pernah dipakai. Hal disebabkan karena menghitung nilai (n − 1)! modulo n untuk bilangan n yang besar secara komputasional berat, dan karena ada banyak uji keprimaan yang lebih cepat.

Residu kuadratik

Dengan menggunakan teorema Wilson, kita dapat mengubah ruas kiri setiap bilangan prima ganjil ${\displaystyle p=2m+1}$ di

${\displaystyle 1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv \ -1\ {\pmod {p}}}$

untuk mendapatkan persamaan${\displaystyle 1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\ \equiv \ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}$Bentuk tersebut dapat dinyatakan sebagai

${\displaystyle \prod _{j=1}^{m}\ j^{2}\ \equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}}$

atau

${\displaystyle (m!)^{2}\equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}.}$

Bentuk ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema terkenal: untuk setiap bilangan prima ${\displaystyle p}$ yang memenuhi ${\displaystyle p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4)}$, bilangan ${\displaystyle -1}$ adalah residu kuadratik modulo ${\displaystyle p}$. Untuk membuktikannya, anggap ${\displaystyle p=4k+1}$ untuk suatu nilai ${\displaystyle k}$. Dengan mengambil ${\displaystyle m=2k}$ dan menggunakan bentuk diatas, kita dapatkan ${\displaystyle -1}$ kongruen dengan ${\displaystyle (m!)^{2}}$.

Teorema Wilson telah digunakan untuk mengonstruksi persamaan bilangan prima, namun metode tersebut terlalu lambat untuk kegunaan praktis.

Teorema Wilson dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi gamma p-adic.

Gauss membuktikan bahwa^[7]

${\displaystyle \prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

dengan ${\displaystyle p}$ menyatakan bilangan prima ganjil, dan ${\displaystyle \alpha }$ menyatakan bilangan bulat positif. Nilai ${\displaystyle m}$ yang menyebabkan hasil perkalian ${\displaystyle -1}$ adalah bilangan yang memiliki akar primitif modulo m.

Hal ini memperumum faktr bahwa untuk setiap grup abelian finite, antara hasil perkalian semua elemennya adalah elemen identitas, atau terdapat tepat satu elemen ${\displaystyle a}$ berorde dua (namun tidak keduanya). Pada kasus yang kedua, hasil perkalian semua elemen adalah elemen ${\displaystyle a}$.