Dalam aljabar, diberi gelanggang R, kategori modul kiri di atas R adalah kategori yang objek semuanya tersisa modul di atas R . Misalnya, jika R adalah ring integer s 'Z' , itu sama dengan kategori grup abelian. Kategori modul yang tepat didefinisikan dengan cara yang serupa.
Catatan: Beberapa penulis menggunakan istilah kategori modul untuk kategori modul. Istilah ini bisa ambigu karena bisa juga merujuk ke kategori dengan tindakan kategori-monoid.[1]
Sifat
Kategori modul kiri dan kanan adalah kategori abelian. Kategori ini memiliki proyektif cukup[2] dan injeksi cukup.[3] Teorema embedding Mitchell menyatakan setiap kategori abelian muncul sebagai subkategori lengkap dari kategori modul.
Limit proyektif dan batas induktif ada dalam kategori modul kiri dan kanan.[4]
Di atas gelanggang komutatif, bersama dengan hasil kali tensor modul ⊗, kategori modul adalah kategori monoidal simetris.
Kategori ruang vektor
kategori K-Vekt (beberapa penulis menggunakan VektK) memiliki semua ruang vektor di atas bidang K sebagai objek, dan K - peta linier sebagai morfisme. Karena ruang vektor di atas K (sebagai bidang) sama dengan modul di atas gelanggang K, K-Vect adalah kasus khusus R-Mod, kategori kiri R - modul.
Banyak dari aljabar linier berkaitan dengan deskripsi K-Vekt. Misalnya, teorema dimensi untuk ruang vektor mengatakan bahwa kelas isomorfisme ada di K-Vect sesuai persis dengan bilangan kardinal, dan itu K-Vekt adalah ekuivalen dengan subkategori dari K-Vekt yang memiliki ruang vektor sebagai objeknya Kn, dengan n adalah bilangan kardinal.
Generalisasi
Kategori berkas modul di atas ruang berdering juga memiliki cukup suntikan (meskipun tidak selalu cukup proyektif).
Lihat pula
Catatan
Referensi
Pranala luar
