阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。

設${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$為一冪級數，其收斂半徑為R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数${\displaystyle z_{0}}$，级数${\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}}$收斂，則有: ${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}f(tz_{0})=\sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}}$。

若${\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}R^{n}}$收斂，則結果顯然成立，無須引用這个定理。

设级数${\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}}$收斂，下面证明：

${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}f(tz_{0})=\lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n\geq 0}a_{n}t^{n}z_{0}^{n}=\sum _{n\geq 0}a_{n}z_{0}^{n}}$

令${\displaystyle b_{n}=a_{n}z_{0}^{n}}$，则幂级数${\displaystyle \sum _{n\geq 0}b_{n}z^{n}}$ 的收敛半径为1，并且只需证明

${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n\geq 0}b_{n}t^{n}=\sum _{n\geq 0}b_{n}}$

令${\displaystyle b_{0}^{\prime }=b_{0}-\sum _{n\geq 0}b_{n}}$，则可化归到${\displaystyle \sum _{n\geq 0}b_{n}=0}$，于是以下只需要考虑${\displaystyle \sum _{n\geq 0}b_{n}=0}$ 的情况。

设${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{n}}$，那么${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}=0}$。由幂级数性质可知${\displaystyle \sum _{n\geq 0}S_{n}z^{n}}$ 的收敛半径也是1。于是

${\displaystyle .\ \ \lim _{N\to +\infty }\sum _{n=0}^{N}b_{n}t^{n}=\lim _{N\to +\infty }\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})t^{n}}$

${\displaystyle =\lim _{N\to +\infty }\left(\sum _{n=0}^{N-1}S_{n}(t^{n}-t^{n+1})+S_{N}t^{N}\right)}$

${\displaystyle =(1-t)\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}t^{n}}$（因为${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}t^{n}=0}$）

对于任意的${\displaystyle \epsilon >0}$，固定${\displaystyle N_{0}}$ 使得

${\displaystyle \forall m>N_{0}}$，${\displaystyle |s_{m}|<{\frac {\epsilon }{2}}}$

再固定${\displaystyle \delta }$使得

${\displaystyle \forall 0\leq t\leq \delta }$，${\displaystyle |1-t|\sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}\leq {\frac {\epsilon }{2}}}$

于是对${\displaystyle \forall 0\leq t\leq \delta }$，

${\displaystyle .\ \ |\lim _{N\to +\infty }\sum _{n=0}^{N}b_{n}t^{n}|\leq |(1-t)\sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}t^{n}|+|(1-t)\sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }S_{n}t^{n}|}$

${\displaystyle \leq {\frac {\epsilon }{2}}+|1-t|{\frac {\epsilon }{2}}\sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }|t|^{n}\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}{\frac {|1-t|}{1-|t|}}}$

${\displaystyle \displaystyle =\epsilon }$

这就证明了

${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n\geq 0}b_{n}t^{n}=0=\sum _{n\geq 0}b_{n}}$

于是阿贝尔定理得证。

从证明中可以看出，对于一个固定的正数${\displaystyle \alpha }$，设区域：

${\displaystyle D_{\alpha }=\left\{|t|\leq 1\mid {\frac {|1-t|}{1-|t|}}\leq \alpha \right\}}$

那么只要${\displaystyle t}$ 在${\displaystyle D_{\alpha }}$趋近于1，就有阿贝尔定理成立。

阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上${\displaystyle x^{n}}$项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。

1. 为计算收敛级数${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$，設${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\log(1+x)}$。于是有${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\log 2}$
2. 为计算收敛级数${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$，設${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x)}$。因此有${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$

• （法文）Srishti.D.Chatterji. Cours d'Analyse. Editions polytechniques et universitaires romandes. 1997. 
• （法文）Alekseev. Theorème D'Abel: Un Cours D'Arnold. Cassini. 2007.