在數學裡,表示理論是以線性變換的群來分析一般抽象群的一種技術。相關的介紹請見群表示,此條目則討論含有有限個元素的群的表示理論。
表示論也在諸多領域上有應用,例如說:量子化學或是量子物理等等。除此之外,有限群表示論也常應用在代數上去檢驗群的結構,甚至在其他數學領域上,例如調和分析或是數論上,都是有應用的。
此條目中的所有線性變換都是有限維的,且除了有另外提起外,基域都假定為複數域。G的表示是一個群同構 ρ:G → GL(n,C),由 G 至一般線性群 GL(n,C) 的映射。因此,要選定一個表示,則只要將群內的每個元素配定一個方陣,其中方陣的相乘和群元素間的運算會是一樣的。
若矩陣是實數的,則稱 ρ 是 G 的一個實表示。換句話說, ρ ρ --> ( G ) ⊂ ⊂ --> G L ( n , R ) . {\displaystyle \rho (G)\subset GL(n,\mathbb {R} ).}
令 V {\displaystyle V} 是一個在體 K {\displaystyle K} 上的向量空間同時 G {\displaystyle G} 是一個有限群。一個關於群 G {\displaystyle G} 的線性表示是一個群同態 ρ ρ --> : G → → --> GL ( V ) = Aut ( V ) . {\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V).} 這裡的 GL ( V ) {\displaystyle {\text{GL}}(V)} 是指一般線性群而 Aut ( V ) {\displaystyle {\text{Aut}}(V)} 指的是自同構群。而向量空間 V {\displaystyle V} 則被稱作是群 G {\displaystyle G} 的表示空間。我們會將向量空間 V {\displaystyle V} 的維度定義成一個線性表示的次數(英語:degree)。
表示 ρ: G → GL(n,C) 定義了 G 在向量空間 Cn 上的群作用,而且此一作用也可以完全決定 ρ 。因此,要選定一個表示,選定在表示的向量空間上的作用即已足夠。
換言之,群 G 在複向量空間 V 上的作用可以推導出群代數 C[G] 在向量空間 V 上的左作用,反之亦然。因此,表示會等價於左 C[G]-模。
群代數 C[G]是一個在複數上,以 G 作用的 |G| 維代數。(參見彼德-外爾定理中緊緻群的例子。)而實際上, C[G]是 G×G 的一個表示。更具體地來說,若 g1 跟 g2 是 G 的元素,且 h 是 C[G] 中相對應至 G 的 h 的一個元素,則
C[G] 也可以以三種方式來做為 G 的表示:
這些都可以在 G×G 作用中被「找到」。
對許多的群而言,用矩陣來表示完全是一件很自然的事情。例如,一個二面體群 D4——正方形的對稱,即可以兩個鏡射矩陣的表示來產生:
這裡, m 是由 (x,y) 映射至 (− x,y) 的鏡射,而 n 則是由 (x,y) 映射至 (y,x) 的鏡射。這些矩陣的相乘一共可以產生構成此群的八個矩陣。如上所述,可以以矩陣來表示,或者也可以以在二維向量空間 (x,y) 上的作用來表示。
此一表示是「真實的」-亦即,在矩陣和群的元素之間是一對一對應的,因為不存在在群作用下不變的 (x,y) 的子空間。
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