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廣義多項式韋格納頻譜圖（generalized polynomial Wigner spectrogram），是一種用於時頻分析的方法，屬於信號處理的範疇。一個好的時頻分析講求在頻譜圖上要有高的解析度，並且不能有相交項(cross term)，才能得到準確的瞬時頻率，但這兩點之間常須進行取捨。韋格納分佈雖然解析度較高，但在許多情況下會有相交項，例如瞬時頻率為高階指數函數時或多組件時；在瞬時頻率為高階指數函數時多項式韋格納分佈（英语：Polynomial_Wigner–Ville_distribution）除了能保有高解析度之外還能消除相交項，但在多組件情況下的相交項仍然存在；加伯轉換沒有相交項，但解析度較低，廣義頻譜圖雖然強化了加伯轉換的解析度，但仍比韋格納分佈來得模糊。

廣義多項式韋格納頻譜圖透過結合廣義頻譜圖與多項式韋格納分佈（英语：Polynomial_Wigner–Ville_distribution）的優點，來達到同時高解析度與沒有相交項的目標。

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau }$${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\eta /2)\cdot X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta }$

在${\displaystyle x(t)=\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n})}$時，

${\displaystyle PWVD_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )\ e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau }$

透過設定${\displaystyle d_{\ell }}$使下式成立，

${\displaystyle \exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )=\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )}$

即可得到，

${\displaystyle PWVD_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )d\tau \cong \delta (f-\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )}$

亦即${\displaystyle x(t)}$的瞬時頻率。

${\displaystyle {G_{x,{w}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{w\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

亦即使用高斯函數做為短時距傅立葉轉換的窗函數。

${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)}$

其中${\displaystyle w_{1}(t),\ w_{2}(t)}$為兩個不同的窗函數，

${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

若${\displaystyle w_{1}(t)=w_{2}(t)}$，則為一般頻譜圖。

不過根據測不準原理，較窄的窗函數，時間解析度較好，而頻率解析度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解析度較好，而時間解析度較差。

因此若兩個窗函數一個較窄一個較寬，加伯轉換後會得到解析度分別在時域與頻域較好的兩個頻譜圖，再透過相乘即可得到解析度在時頻兩域均好的頻譜圖。

${\displaystyle C_{x}(t,f)=p\left(SP_{x}(t,f),\ |PWVD_{x}(t,f)|\right)}$，其中${\displaystyle p(x,y)}$可以是任何輸入兩個變數的函數。

如果在${\displaystyle \min(x,y)=0}$時${\displaystyle p(x,y)=0}$，即可達到去除相交項的同時保有高解析度的特性。

例如：

• ${\displaystyle p(x,y)=xy}$，${\displaystyle C_{x}(t,f)=SP_{x}(t,f)|PWVD_{x}(t,f)|}$ 由於多項式韋格納分佈會有相交項，透過相乘，相交項${\displaystyle PWVD_{x}(t,f)\neq 0}$會因為${\displaystyle SP_{x}(t,f)=0}$而消掉； 因為廣義頻譜圖解析度較低，在瞬時頻率附近的頻率${\displaystyle SP_{x}(t,f)\neq 0}$，但對於解析度較高的多項式韋格納分佈來說${\displaystyle PWVD_{x}(t,f)\simeq 0}$，因此相乘後${\displaystyle C_{x}(t,f)\simeq 0}$提高解析度。 其他類似變型有：
  • ${\displaystyle p(x,y)=x^{\alpha }y^{\beta }}$，${\displaystyle C_{x}(t,f)=SP_{x}^{\alpha }(t,f)|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|}$
  • 也可以加個閾，${\displaystyle C_{x}(t,f)=thr[SP_{x}^{\alpha }(t,f)]|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|}$， 其中${\displaystyle thr(x)={\begin{cases}x-\Delta &,x>\Delta \\0&,x\leq \Delta \end{cases}}}$，閾值${\displaystyle \Delta }$可自行設定任意值
• ${\displaystyle C_{x}(t,f)=\min\{A_{1}SP_{x}(t,f),\ A_{2}|PWVD_{x}(t,f)|\}}$
• ${\displaystyle C_{x}(t,f)=SP_{x}^{\alpha }(t,f)|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|\cdot \{[SP_{x}(t,f)>\Delta _{1}]\&[|PWVD_{x}(t,f)|>\Delta _{2}]\}}$

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.