在复分析中,一个全纯函数的可去奇点(removable singularity),有时称为装饰性奇点(cosmetic singularity)是这样的点,在此处函数表面上没有定义,但是通过细致地分析,函数的定义域可以扩大到该奇点,使得延拓后的函数仍然全纯。
例如函数:
对 z ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle z\neq 0} 有一个奇点 z = 0 {\displaystyle z=0} 。藉由定义 f ( 0 ) = 1 {\displaystyle f(0)=1} ,可將此奇点消去,並得到全純的 sinc函數。
确切地,如果 U {\displaystyle U} 是复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的一个开集, a {\displaystyle a} 是 U {\displaystyle U} 中一点, f : U ∖ ∖ --> { a } → → --> C {\displaystyle f:U\backslash \{a\}\to \mathbb {C} } 是一个全纯函数,如果存在一个在 U ∖ ∖ --> { a } {\displaystyle U\backslash \{a\}} 与 f {\displaystyle f} 相等的全纯函数 g : U → → --> C {\displaystyle g:U\to \mathbb {C} } ,则 a {\displaystyle a} 称为 f {\displaystyle f} 的一个可去奇点。如果这样的 g {\displaystyle g} 存在,我们说 f {\displaystyle f} 在 a {\displaystyle a} 是可全纯延拓的。
黎曼关于可去奇点的定理指出了何时一个奇点是可去的:
定理: 设 D ⊂ ⊂ --> C {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } 是复平面中的一个开集, a ∈ ∈ --> D {\displaystyle a\in D} 是其内的一个点,并且 f {\displaystyle f} 是定义在集合 D ∖ ∖ --> { a } {\displaystyle D\backslash \{a\}} 上的一个全纯函数。则下列情形是等价的:
蕴含关系 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。为了证明 iv) ⇒ i),我们首先回忆到一个函数在一点的全纯性等价于解析,即有一个幂级数表示。
定义: h ( z ) = { ( z − − --> a ) 2 f ( z ) z ≠ ≠ --> a , 0 z = a . {\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\\\end{cases}}}
显然, h {\displaystyle h} 在 D ∖ ∖ --> { a } {\displaystyle D\backslash \{a\}} 上是全纯的,并且由 iv)有
因此 h {\displaystyle h} 在整个 D {\displaystyle D} 上都全纯,从而有在 a {\displaystyle a} 的泰勒级数:
所以
是 f {\displaystyle f} 在 a {\displaystyle a} 的全纯延拓,这就证明了先前的断言。
不像实变量函数,全纯函数有足够的刚性使得其孤立奇点可完全分类。一个全纯函数的奇点要么其实不是真正的奇点,即可去奇点,要么是如下两类居其一: