勒贝格控制收敛定理

勒貝格控制收斂定理也稱勒貝格受制收斂定理,(英語:Lebesgue's dominated convergence theorem),在数学分析测度论中,這個定理給予了积分运算和极限运算可以交换顺序的條件。對逐点收敛函数序列而言,其積分運算和收敛的极限運算未必一定可以交换。控制收敛定理说明了,如果逐点收敛函数序列中的每個函數都能被同一个勒贝格可积的函数「控制」(即在每一點,序列中的每個函數的绝对值都小于「控制函數」),那么函数序列的极限函数的勒贝格积分等于函数序列中每个函数的勒贝格积分的极限。勒贝格控制收敛定理显示出勒贝格积分相比于黎曼积分的优越性,在数学分析和实变函数论中有很大的应用。

叙述

为一个测度空间是一个实值的可测函数列。如果逐点收敛于一个函数,并存在一个勒贝格可积的函数,使得对每个,任意,都有

则:

  1. 也是勒贝格可积的,

其中的函数一般取为正值函数。函数列的逐点收敛和的性质可以减弱为几乎处处成立。

证明

勒贝格控制收敛定理是更广泛的法图-勒贝格定理(Fatou–Lebesgue theorem)的特例。以下是一个引用法图引理的证明。

由于 逐点收敛的极限,因此对其仍然有

(于是)。

同理,对任意的有:

以及

根据反向的法图引理

因此,由勒贝格积分的线性性和单调性,就有

而后者趋于0,于是定理得证。


控制函数的必要性

控制收敛定理能够成立的一个重要因素是存在一个可积的函数,使得函数列收敛的过程能够“安全”进行。如果缺少这个条件,调换运算次序就可能会导致各种后果。下面是一个例子:

定义函数为:对于中的。对于中的 。对 中的任意 ,当趋于无穷大时,总趋于零,同时上的积分总是1。结果是:

控制收敛定理不成立。原因是不存在可积的控制函数:定义为:对中每一点。那么在 。于是如果存在控制函数,那么 ,但是

(当 时)

也就是说不可积。

由此可见,可积的控制函数是定理成立的必需条件。

参见

参考资料

  • R.G. Bartle, "The Elements of Integration and Lebesgue Measure", Wiley Interscience, 1995.
  • H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.
  • D. Williams, "Probability with Martingales", Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6

Read other articles:

Jharkhand Peta India dengan letak Jharkhand ditandai. Ibu kota - Koordinat Ranchi - 23°25′N 85°20′E / 23.42°N 85.33°E / 23.42; 85.33 Kota terbesar Ranchi Populasi (2011) - Kepadatan 32.988.134 (Ke-13) - 414/km² Area - Distrik 79.700 km² (Ke-15) - 24 Zona waktu UTC +5:30 Pembentukan - Gubernur - Ketua Menteri - Legislatif (kursi) 15 Nopember, 2000...

 

 

Aleksandr Vladimirovich Dvornikov (bahasa Rusia : Александр Владимирович Дворников ; lahir 22 Agustus 1961) adalah seorang jenderal angkatan darat Rusia yang memimpin intervensi militer Rusia di Suriah dan invasi Rusia ke Ukraina.Aleksandr DvornikovAleksandr Dvornikov Tahun 2021Nama asliАлександр Владимирович ДворниковLahir22 Agustus 1961 (umur 62)Ussuriysk, RSFS Rusia, Uni SovietPengabdian Uni Soviet RusiaDi...

 

 

American politician (1778–1838) For other people named William Ashley, see William Ashley (disambiguation). William Henry AshleyMember of the U.S. House of Representativesfrom Missouri's at-large districtIn officeOctober 31, 1831 – March 3, 1837Preceded bySpencer D. PettisSucceeded byJohn Miller1st Lieutenant Governor of MissouriIn officeSeptember 18, 1820 – November 15, 1824GovernorWilliam ClarkAlexander McNairPreceded byPosition createdSucceeded byBenjami...

American election 1873 Wisconsin gubernatorial election ← 1871 November 4, 1873 1875 →   Nominee William Robert Taylor Cadwallader C. Washburn Party Democratic Republican Alliance Reform — Popular vote 81,599 66,224 Percentage 55.19% 44.79% County resultsTaylor :      50–60%      60–70%      70–80%      80–90%Washburn :     ...

 

 

Синелобый амазон Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:ЗавропсидыКласс:Пт�...

 

 

The physiological basis for decompression theory and practice Scuba diver decompressing at a planned stop during ascent from a dive Not to be confused with Human physiology of underwater diving or Decompression sickness. The physiology of decompression is the aspect of physiology which is affected by exposure to large changes in ambient pressure. It involves a complex interaction of gas solubility, partial pressures and concentration gradients, diffusion, bulk transport and bubble mechanics ...

Teglio commune di Italia Tempat Negara berdaulatItaliaRegion di ItaliaLombardyProvinsi di ItaliaProvinsi Sondrio NegaraItalia Ibu kotaTeglio PendudukTotal4.515  (2023 )GeografiLuas wilayah115,32 km² [convert: unit tak dikenal]Ketinggian851 m Berbatasan denganAprica Bianzone Castello dell'Acqua Chiuro Corteno Golgi Paisco Loveno Ponte in Valtellina Schilpario Valbondione Vilminore di Scalve Villa di Tirano Brusio SejarahHari liburpatronal festival Santo pelindungEuphemia Informasi t...

 

 

† Человек прямоходящий Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:Синапсиды�...

 

 

Fluorotabun Names IUPAC name Ethyl dimethylphosphoramidofluoridate Identifiers CAS Number 358-29-2 3D model (JSmol) Interactive image ChemSpider 61069 PubChem CID 67750 CompTox Dashboard (EPA) DTXSID70957178 InChI InChI=1S/C4H11FNO2P/c1-4-8-9(5,7)6(2)3/h4H2,1-3H3Key: JYXIMOLVBWANAH-UHFFFAOYSA-N SMILES CCOP(=O)(N(C)C)F Properties Chemical formula C4H11FNO2P Molar mass 155.109 g·mol−1 Hazards Occupational safety and health (OHS/OSH): Main hazards Highly toxic Lethal dose or...

МифологияРитуально-мифологическийкомплекс Система ценностей Сакральное Миф Мономиф Теория основного мифа Ритуал Обряд Праздник Жречество Мифологическое сознание Магическое мышление Низшая мифология Модель мира Цикличность Сотворение мира Мировое яйцо Мифическое �...

 

 

Flynn RiderTokoh TangledPenampilanperdanaTangled (2010)PenciptaNathan GrenoByron HowardPemeranNick Pankuchm(Tangled: The Musical)Pengisi suaraZachary Levi (Tangled)Terinspirasi olehPangeran dari kisah dongeng karya Grimm BersaudaraInformasiAliasEugene FitzherbertGelarPangeran Kerajaan Gelap Prince of CoronaPekerjaanPencuriPasanganRapunzelKerabat King Edmund (ayah) King Frederic (ayah mertua) Queen Arianna (ibu mertua) Willow (bibi mertua) KewarganegaraanKerajaan KoronaHewan peliharaanPascal d...

 

 

Artikel ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia.Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Lambang Kuwait – berita · surat kabar �...

  提示:此条目页的主题不是中華人民共和國最高領導人。 中华人民共和国 中华人民共和国政府与政治系列条目 执政党 中国共产党 党章、党旗党徽 主要负责人、领导核心 领导集体、民主集中制 意识形态、组织 以习近平同志为核心的党中央 两个维护、两个确立 全国代表大会 (二十大) 中央委员会 (二十届) 总书记:习近平 中央政治局 常务委员会 中央书记处 �...

 

 

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言,清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。 哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日(哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統) 哈萨克斯坦 哈萨克斯坦政府...

 

 

Albert William TruemanA. W. TruemanBornJanuary 17, 1902 (1902-01-17)Waverly, Pennsylvania[1]DiedJune 29, 1988 (1988-06-30) (aged 86)Toronto, Ontario, CanadaAlma materMount Allison University, Oxford UniversityOccupation(s)teacher, professor, cultural and university administratorKnown forNational Film Board of Canada, Canada Council, University of Manitoba, University of New Brunswick, University of Western Ontario, Carleton University Albert William Trueman, OC, FR...

Connect card redirects here. For the smart card system termed ConnectCard, see Port Authority of Allegheny County § Fare structure. Modem providing Internet access via a wireless connection USB broadband modems A mobile broadband modem, also known as wireless modem or cellular modem, is a type of modem that allows a personal computer or a router to receive wireless Internet access via a mobile broadband connection instead of using telephone or cable television lines. A mobile Internet u...

 

 

American college basketball season 2023–24 Saint Joseph's Hawks men's basketballBig 5 Classic championsNIT, First RoundConferenceAtlantic 10 ConferenceRecord21–14 (9–9 A–10)Head coachBilly Lange (5th season)Associate head coachJustin ScottAssistant coaches John Linehan Thomas Boyle Home arenaHagan ArenaSeasons← 2022–232024–25 → 2023–24 Atlantic 10 men's basketball standings vte Conf Overall Team W   L   PCT W   L   PCT Ric...

 

 

Municipality in Puebla, MexicoChila MunicipalityMunicipality SealLocation of the municipality in PueblaCoordinates: 20°45′07″N 105°15′27″W / 20.7520°N 105.2575°W / 20.7520; -105.2575Country MexicoStatePueblaPopulation (2020) • Total5,082Time zoneUTC-6 (Central)Websitechiladelasflores.gob.mx Chila is a municipality in the state of Puebla in eastern Mexico.[1] In 2020, the municipality had a population of 5,082.[2] Refere...

Untuk pemain sepak bola, lihat Andi Oddang. Artikel biografi ini ditulis menyerupai resume atau daftar riwayat hidup (Curriculum Vitae). Tolong bantu perbaiki agar netral dan ensiklopedis. Gaya atau nada penulisan artikel ini tidak mengikuti gaya dan nada penulisan ensiklopedis yang diberlakukan di Wikipedia. Bantulah memperbaikinya berdasarkan panduan penulisan artikel. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Andi Oddang Gubernur Sulawesi Selatan ke-3Masa jaba...

 

 

Railroad in New York, United States This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Cayuga and Susquehanna Railroad – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2018) (Learn how and when to remove this message) Cayuga and Susquehanna RailroadFormer station at 701 W. Seneca St in IthacaOverviewDat...