數學中,實數域上的向量空間V的複化是在複數域上對應的向量空間VC,就是說它有與V相同的維數,V在實數域上的基可以作為VC在複數域上的基。
例如設V包含m×n實矩陣,則VC包含m×n複矩陣。
不依賴於基的定義是取V和複數在實域上的張量積:
複向量空間 V C {\displaystyle V^{C}} 有額外結構:典範複共軛運算 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi \ } 。因為 V {\displaystyle V} 以 v ↦ ↦ --> v ⊗ ⊗ --> 1 {\displaystyle v\mapsto v\otimes 1} 包含在 V C {\displaystyle V^{C}} 內,複共軛運算可定義為 ϕ ϕ --> ( v ⊗ ⊗ --> z ) = v ⊗ ⊗ --> z ∗ ∗ --> {\displaystyle \phi (v\otimes z)=v\otimes z^{*}} 。這運算常記作 w ∗ ∗ --> {\displaystyle w^{*}} 或 w ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {w}}} 。
相反地,給出複向量空間 W {\displaystyle W} ,並有複共軛運算 ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi \ } , W {\displaystyle W} 作為複向量空間同構於 W {\displaystyle W} 的實子空間 S = { w ∈ ∈ --> W : ϕ ϕ --> ( w ) = w } {\displaystyle S=\{w\in W:\phi (w)=w\}} 的複化 S C {\displaystyle S^{C}} 。也就是說,所有帶有複共軛運算的複向量空間都是實向量空間的複化。
例如 W = C {\displaystyle W=\mathbb {C} } 有標準共軛運算 ϕ ϕ --> ( z ) = z ∗ ∗ --> {\displaystyle \phi (z)=z^{*}\ } ,那麼 S = R {\displaystyle S=\mathbb {R} } 。