关于新加坡及亞洲學校數學奧林匹克的題目，请见「
謝麗爾的生日 」。
生日問題 是問最少需要多少人，當中兩人同一天生日 的機率才會過半，答案是23人。這問題有時也稱生日悖論 ，但从引起逻辑 矛盾的角度来说生日問題并非悖论 ，它稱作悖論只因这事实与一般直觉 相抵触而已。大多数人会认为23人中兩人同生日的概率应该远小于一半。计算与此相关的概率 称为生日问题 ，在这个问题之后的数学理论已用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击 。
生日問題可理解成盲射打靶问题。首先計算：23人皆不同生日的概率是多少？可想像一間有23人進入的房間，這23人依次進入，每個進入的人的生日都與房裏其他人的生日不同的概率依次是1、
364
365
{\textstyle {\frac {364}{365}}}
363
365
{\textstyle {\frac {363}{365}}}
362
365
{\textstyle {\frac {362}{365}}}
361
365
{\textstyle {\frac {361}{365}}}
364
365
{\textstyle {\frac {364}{365}}}
363
365
{\textstyle {\frac {363}{365}}}
362
365
{\textstyle {\frac {362}{365}}}
361
365
{\textstyle {\frac {361}{365}}}
345
365
{\textstyle {\frac {345}{365}}}
344
365
{\textstyle {\frac {344}{365}}}
343
365
{\textstyle {\frac {343}{365}}}
几何概型 的话，连射12枪左右任何一发都没有击中黑格的概率（投射于房间里的人生日皆不同）十分微小。
理解生日問題的关键在于考虑上述“依次入房”模型中最后几个入房的人“全都没碰到同生日的人”概率多少。
简言之，大多数人之所以会认为23人中兩人同生日的概率应该远远小于50%，是因为将问题理解为“其他22人与你 同生日的概率”，而非问题真諦“23人中两两之间存在生日相同”。如果有考虑这点，直觉上会将原来的概率乘以23（注意：此算法并不正确） ，则会意识到概率很大。
假設有n 個人在房內，如果要計算兩人同生日的機率，在不考慮特殊因素如閏年 、雙胞胎 的前提下，假設一年365日出生概率平均分佈（現實的出生機率不是平均分佈）。
計算概率的方法是，首先找出p （ n） 表示n 人中，每人生日都不同的概率。假如n > 365，根據鴿巢原理 其概率為0，假设n ≤ 365，则概率为
p
¯ ¯ -->
(
n
)
=
1
⋅ ⋅ -->
(
1
− − -->
1
365
)
⋅ ⋅ -->
(
1
− − -->
2
365
)
⋯ ⋯ -->
(
1
− − -->
n
− − -->
1
365
)
=
365
365
⋅ ⋅ -->
364
365
⋅ ⋅ -->
363
365
⋅ ⋅ -->
362
365
⋯ ⋯ -->
365
− − -->
n
+
1
365
{\displaystyle {\bar {p}}(n)=1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)={\frac {365}{365}}\cdot {\frac {364}{365}}\cdot {\frac {363}{365}}\cdot {\frac {362}{365}}\cdots {\frac {365-n+1}{365}}}
该图片显示特定人数对应的2个人生日一样的概率 因为第二人不能跟第一人同生日（概率是364/365），第三人不能跟前两人同生日（概率是363/365），依此类推。用阶乘 可写成如下形式
365
!
365
n
(
365
− − -->
n
)
!
{\displaystyle {365! \over 365^{n}(365-n)!}}
p (n ）表示n 个人中至少兩人同生日的概率
p
(
n
)
=
1
− − -->
p
¯ ¯ -->
(
n
)
=
1
− − -->
365
!
365
n
(
365
− − -->
n
)
!
{\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n)=1-{365! \over 365^{n}(365-n)!}}
n ≤365，根据鸽巢原理，n 大于365时概率为1。
n 是23時概率约0.507。其他人數的概率用上面算法可得出：
n p （n ）
10
12%
20
41%
30
70%
50
97%
100
99.99996%
200
99.9999999999999999999999999998%
300
1 −（7×10−73 ）
350
1 −（3×10−131 ）
≥366
100%
比较p (n) = 任意两人同生日的概率；q (n) =和某人同生日的概率 注意所有人都是随机选出：作为对比，q (n )表示房间中有n+1 人，當中与特定人（比如你）同生日的概率：
q
(
n
+
1
)
=
1
− − -->
(
364
365
)
n
{\displaystyle q(n+1)=1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{n}}
当n = 22时概率只有大约0.059，约高于十七分之一。如果n 人中有50％概率存在某人跟你 同生日，n 至少要达到253。注意这数字大大高于365/2 = 182.5；究其原因是因为房间内可能有些人同生日。
保羅·哈莫斯 在自传中认为生日問題只用计算数值来解释是种悲哀，所以给出了一种概念数学方法的解释（尽管这方法有一定的误差）：乘积
∏ ∏ -->
k
=
1
n
− − -->
1
(
1
− − -->
k
365
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)}
等于1－p （n ），因此关注第一个n ，欲使乘积小于1/2。由平均数不等式 可知：
∏ ∏ -->
k
=
1
n
− − -->
1
(
1
− − -->
k
365
)
n
− − -->
1
<
1
n
− − -->
1
∑ ∑ -->
k
=
1
n
− − -->
1
(
1
− − -->
k
365
)
{\displaystyle {\sqrt[{n-1}]{\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)}}<{1 \over n-1}\sum _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)}
再用已知的1到n －1所有整数和等于n （n －1）/2，然后用不等式1－x < e −x ，可得到：
∏ ∏ -->
k
=
1
n
− − -->
1
(
1
− − -->
k
365
)
<
(
1
n
− − -->
1
∑ ∑ -->
k
=
1
n
− − -->
1
(
1
− − -->
k
365
)
)
n
− − -->
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)<\left({1 \over n-1}\sum _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)\right)^{n-1}}
=
(
1
− − -->
n
730
)
n
− − -->
1
<
(
e
− − -->
n
/
730
)
n
− − -->
1
=
e
− − -->
(
n
2
− − -->
n
)
/
730
{\displaystyle =\left(1-{n \over 730}\right)^{n-1}<\left(e^{-n/730}\right)^{n-1}=e^{-(n^{2}-n)/730}}
如果仅当
n
2
− − -->
n
>
730
log
e
-->
2
≅ ≅ -->
505.997
… … -->
{\displaystyle n^{2}-n>730\log _{e}2\cong 505.997\dots }
最后一條表达式的值会小于0.5。其中loge 自然对数 ，略小于 506，如果取n 2 －n =506就得到n ＝23。
在推导中，哈莫斯写道：
这推論是基于数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾是用来演示纯思维如何胜过机械计算的绝妙例子：这些不等式一两分钟就写得出，但乘法运算就要更多时间且更易出错，无论使用的工具是铅笔还是老式电脑。计算器不能提供的是理解力、数学才能、或产生更高级、普适化理论的坚实基础。[ 1]
然而哈莫斯的推論只显示至少 超過23人就能保证平等机会下的生日匹配。因为不知道给出的不等式有多強（嚴格、清晰），因此無法藉此計算過程確定n＝22是否能讓機率過半；相反，現在任何人都可用Microsoft Excel等個人電腦程式在幾分鐘內把整幅機率分佈圖畫出來，對問題答案很快就有通盤掌握，一目了然。
用公式
p
(
n
)
∼ ∼ -->
1
− − -->
1
/
exp
-->
(
n
2
/
(
2
N
)
)
{\displaystyle p(n)\sim 1-1/\exp(n^{2}/(2N))}
生日問題可以推广一下：假设有n 人，每人都随机从N 个特定的数中选一个数出来（N可能是365或其他正整数）。
p （n ）表示有两个人选择了同样的数字，这概率多大?
下面的逼近公式可以回答这个问题
p
(
n
)
∼ ∼ -->
1
− − -->
1
/
exp
-->
(
n
2
/
(
2
N
)
)
{\displaystyle p(n)\sim 1-1/\exp(n^{2}/(2N))}
下面泛化生日问题：给定从符合离散均匀分布 的区间[1,d ]随机取出n 个整数，至少2个数字相同的概率p （n ;d ）有多大?
类似的结果可以根据上面的推导得出。
p
(
n
;
d
)
=
{
1
− − -->
∏ ∏ -->
k
=
1
n
− − -->
1
(
1
− − -->
k
d
)
n
≤ ≤ -->
d
1
n
>
d
{\displaystyle p(n;d)={\begin{cases}1-\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over d}\right)&n\leq d\\1&n>d\end{cases}}}
p
(
n
;
d
)
≈ ≈ -->
1
− − -->
e
− − -->
(
n
(
n
− − -->
1
)
)
/
2
d
{\displaystyle p(n;d)\approx 1-e^{-(n(n-1))/2d}}
n
(
p
;
d
)
≈ ≈ -->
2
d
ln
-->
(
1
1
− − -->
p
)
+
1
2
{\displaystyle n(p;d)\approx {\sqrt {2d\ln \left({1 \over 1-p}\right)}}+{1 \over 2}}
p
(
n
;
d
)
=
1
− − -->
(
d
− − -->
1
d
)
n
{\displaystyle p(n;d)=1-\left({\frac {d-1}{d}}\right)^{n}}
反算问题可能是：
对于确定的概率p … …找出最大的n （p ）满足所有的概率p （n ）都小于给出的p ，或者 …找出最小的n （p ）满足所有的概率p （n ）都大于指定的p 。 这问题有如下逼近公式：
n
(
p
)
≈ ≈ -->
2
⋅ ⋅ -->
365
ln
-->
(
1
1
− − -->
p
)
+
1
2
{\displaystyle n(p)\approx {\sqrt {2\cdot 365\ln \left({1 \over 1-p}\right)}}+{1 \over 2}}
逼近
估计N =365
p n 推广
n<N =365
n ↓
p （n ↓） n ↑
p （n ↑）
0.01
（0.14178 √N ）+0.5
3.20864
3
0.00820
4
0.01636
0.05
（0.32029 √N ）+0.5
6.61916
6
0.04046
7
0.05624
0.1
（0.45904 √N ）+0.5
9.27002
9
0.09462
10
0.11695
0.2
（0.66805 √N ）+0.5
13.26302
13
0.19441
14
0.22310
0.3
（0.84460 √N ）+0.5
16.63607
16
0.28360
17
0.31501
0.5
（1.17741 √N ）+0.5
22.99439
22
0.47570
23
0.50730
0.7
（1.55176 √N ）+0.5
30.14625
30
0.70632
31
0.73045 （正確值：n↓=29, n↑=30）
0.8
（1.79412 √N ）+0.5
34.77666
34
0.79532
35
0.81438
0.9
（2.14597 √N ）+0.5
41.49862
41
0.90315
42
0.91403 （正確值：n↓=40, n↑=41）
0.95
（2.44775 √N ）+0.5
47.26414
47
0.95477
48
0.96060 （正確值：n↓=46, n↑=47）
0.99
（3.03485 √N ）+0.5
58.48081
58
0.99166
59
0.99299 （正確值：n↓=56, n↑=57）
注意：某些值有色 ，说明逼近不 总是正确。
生日問題可以用计算机代码经验性模拟
days := 365 ;
numPeople := 1 ;
prob := 0.0 ;
while prob < 0.5 begin
numPeople := numPeople + 1 ;
prob := 1 - (( 1 - prob ) * ( days - ( numPeople - 1 )) / days ) ;
print " Number of people : " + numPeople ;
print " Prob . of same birthday : " + prob ;
end ;
生日問題也可以用Microsoft Excel Spreadsheet模拟
人数
人数对应的生日相同的概率
1 1
=1-PERMUT(365,A1)/POWER(365,A1)
2
=A1+1
=1-PERMUT(365,A2)/POWER(365,A2)
3
=A2+1
=1-PERMUT(365,A3)/POWER(365,A3)
当行数达到23（即人数），可看到概率结果开始過半。
生日問題普遍的应用于检测哈希函数 ：N -位 长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2N N /2密码学散列函数 的生日攻击 中。
生日问题隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做捉放法 （capture-recapture）的统计试验得到应用，来估计湖的鱼数。
就像上面提到的，現实世界人口的生日并非平均分佈，这种非均衡生日概率问题也已解决。[來源請求]
此问题的另外一个泛化是求在n k m [ 2]
p
(
n
,
k
,
m
)
=
1
− − -->
(
m
− − -->
n
k
− − -->
1
)
!
m
n
− − -->
1
(
m
− − -->
n
(
k
+
1
)
)
!
{\displaystyle {\begin{aligned}p(n,k,m)&=1-{\frac {(m-nk-1)!}{m^{n-1}{\bigl (}m-n(k+1){\bigr )}!}}\end{aligned}}}
能找到两个人生日相差k
k n m = 365
0
23
1
14
2
11
3
9
4
8
5
8
6
7
7
7
只須随机抽取7人，找到两人生日相差一周内的概率就会過半。[ 2]
星期二男孩問題：一個兩孩家庭有一個男孩，他是星期二出生的，那麼另一個孩子也是男孩的機率是多少？答：13/27[ 3]
Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake"（某湖中鱼类总量估计），美国数学月刊
M. Klamkin，D. Newman: "Extensions of the birthday surprise"（生日惊喜的扩充）, Journal of Combinatorial Theory 3（1967年）,279-282页。
D. Blom: "a birthday problem"生日问题，美国数学月刊 80（1973年）,1141-1142页。这一论文证明了当生日按照平均分布，两个生日相同的概率最小。
^ 原文：The reasoning is based on important tools that all students of mathematics should have ready access to. The birthday problem used to be a splendid illustration of the advantages of pure thought over mechanical manipulation; the inequalities can be obtained in a minute or two, whereas the multiplications would take much longer, and be much more subject to error, whether the instrument is a pencil or an old-fashioned desk computer. What calculator s do not yield is understanding, or mathematical facility, or a solid basis for more advanced, generalized theories
^ 2.0 2.1 M. Abramson and W. O. J. Moser (1970) More Birthday Surprises , American Mathematical Monthly 77 , 856–858
^ Jesper Juul. Tuesday Changes Everything (a Mathematical Puzzle) . The Ludologist. [2022-05-01 ] . （原始内容 存档于2022-01-24）.
![{\displaystyle {\sqrt[{n-1}]{\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)}}<{1 \over n-1}\sum _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4444729a7dc76c1b0240a69bea185b4f965fb68)
